杨 婵 刘志超 田中强

（中国直升机设计研究所， 江西 景德镇 333001）

0 引言

稳定性是设计加筋板静强度的关键问题之一，以保持结构稳定性为前提，尽量减轻结构质量是加筋板结构设计技术发展的主要目的。铝合金加筋板广泛应用于航空器设计中。铝合金加筋板的稳定性设计有助于在保证安全的前提下，降低结构质量和成本，对提高经济效益有非常重要的意义。与加筋板结构稳定性数值模拟相关的研究大多是关于边界条件对加筋板稳定性能的影响。网格密度和单元类型直接决定了加筋曲板稳定性计算结果的准确性，选择合适的单元类型可以提高计算效率。

1 文献调研

金属壁板加筋结构稳定性分析方法大致分为3 种，理论解析公式法、半经验法和有限元计算方法。应用理论解析法获取的临界屈曲应力值是精确的，但是对大部分实际工程问题来说，难以实现通过建立微分方程求解精确解的目标。半经验法是指工程设计人员基于大量系统的试验总结简便的设计曲线和经验公式，但其有特定的使用条件。随着计算机技术的发展，有限元数值模拟方法在壁板加筋结构稳定性计算中占据了主导地位。目前，国内外学者对薄壁加筋板结构稳定性问题开展的研究主要集中在边界条件对加筋板结构稳定性影响的分析上。其中，Xu Mingcai 等人通过有限元数值模拟不同边界条件对铝合金加筋板结构承载能力的影响。飞机蒙皮为壁板加长桁结构，在纯剪载荷作用下可能发生的失效模式包括蒙皮拉断、桁条压损失稳、框弯曲破坏和连接失效，为了深入研究失效模式，开展加筋曲板结构在剪切载荷作用下失效破坏试验，通过16 种典型构型剪切壁板的剪切试验可以得到壁板的许用剪流与蒙皮厚度、桁条和框的剖面积的关系曲线，并讨论了各种破坏模式，最终将试验结果与工程计算结果进行对比。文献[8]提供了形状规则、各向同性材料曲板稳定性计算的理论公式，其与平板稳定性计算的理论公式的不同处是屈曲系数的取值。

基于上述研究背景可知，加筋曲板稳定性有限元计算网格收敛性的验证工作还处于空白状态。该文以四边加桁条的铝合金曲板为研究对象，采用有限元软件ANSYS 进行稳定性计算。分别采用四节点一阶线性单元和八节点二阶抛物线单元，单元类型模拟铝合金加筋板，改变网格尺寸和单元类型，施加固支约束和曲板轴线方向的位移边界条件，获取压缩失稳临界载荷。同时，应用工程理论公式计算该曲板的屈曲临界载荷，以理论计算值为参考，通过分析评估不同网格密度和单元类型对铝合金加筋曲板稳定性有限元计算精度的影响。

2 计算曲板压缩稳定性

2.1 算例描述

以铝合金加筋曲板为例，曲板的长边是沿柱面的轴线方向，长度=300 mm，弧长=100 mm，厚度=1 mm，曲板轴线与长边平行，曲率半径=300 mm。加筋板四周布置桁条，桁条截面为正方形（边长为5 mm），曲板加筋条总的截面积=140 mm。加筋板一端弧形边固支，另一端弧形边施加1 mm 位移边界条件，铝合金加筋曲板结构如图1 所示。

图1 铝合金加筋曲板结构示意图

2.2 理论计算

在面内压缩载荷的作用下，曲板屈曲临界应力的理论计算式与平板的相似，二者不同之处在于屈曲系数。曲板屈曲临界应力的理论计算式如公式（1）所示。

应用曲板屈曲临界应力的理论公式计算如图1 所示的铝合金加筋曲板结构，屈曲临界压应力为154 MPa，壁板加筋结构（包括曲板和正方形截面桁条）的横截面积为140 mm，则屈曲临界压缩载荷P如公式（2）所示。

当产生1 mm 的压缩位移时，即Δ=1m，等效压缩载荷如公式（3）所示。

式中：Δ为压缩位移。

屈曲临界载荷系数的理论值如公式（4）所示。

将该理论值作为曲板压缩稳定性有限元计算结果的参考值。

2.3 有限元计算

应用有限元软件（ANSYS）计算加筋曲板在承受面内压缩载荷时的稳定性，数值模拟时设置多个网格尺寸，并采用2 种单元类型，从而获取网格密度和单元类型对加筋曲板稳定性有限元计算精度的影响。单元类型包括四节点一阶线性单元和八节点二阶抛物线单元。其中，四节点一阶线性单元的网格尺寸分别为25 mm、5 mm 和1 mm，八节点二阶抛物线单元的网格大小分别为25 mm、10 mm。网格大小为25 mm的四节点一阶线性单元的一阶屈曲模态如图2 所示。网格大小为5 mm 的四节点一阶线性单元的一阶屈曲模态如图3 所示。网格大小为1 mm 的四节点一阶线性单元的一阶屈曲模态如图4 所示。网格大小为25 mm 的八节点二阶抛物线单元的一阶屈曲模态如图5 所示。网格大小为10 mm 的八节点二阶抛物线单元的一阶屈曲模态如图6 所示。图2～图6 是在有限元模型上显示一阶屈曲模态，每个方格代表1 个网格。其中，横坐标表示沿曲板长边的方向；纵坐标表示沿曲板弧长的方向（单位均为mm）。

图2 一阶屈曲模态（网格大小为25 mm 的一阶线性单元）

图4 一阶屈曲模态（网格大小为1 mm 的一阶线性单元）

图5 一阶屈曲模态（网格大小为25 mm 的二阶抛物线单元）

2.4 计算结果与分析

根据第2.2 节可知，该铝合金加筋曲板结构屈曲临界压缩载荷系数的理论计算值为0.66。对第2.3 节的5 种有限元模型的屈曲临界载荷系数进行汇总，结果见表1。

表1 一阶屈曲临界载荷系数

当采用网格大小为25 mm 的四节点一阶线性单元有限元模型进行屈曲计算时，一阶屈曲临界载荷系数为0.95，大于理论计算值0.66，表明有限元计算未收敛。当采用网格大小为10 mm 的四节点一阶线性单元有限元模型和网格大小为1 mm 的四节点一阶线性单元有限元模型进行屈曲计算时，一阶屈曲临界载荷系数均为0.66，与理论计算值一致，表明有限元计算已收敛，计算结果准确可信。如图3 所示，当1 个屈曲半波内需要6 个四节点一阶线性单元模拟时，有限元计算可收敛，有限元计算结果准确可信。当采用网格大小为25 mm 的八节点二阶抛物线单元有限元模型进行屈曲计算时，一阶屈曲临界载荷系数为0.78，大于理论计算值，表明有限元计算未收敛。当采用网格大小为10 mm 的八节点二阶抛物线单元有限元模型进行屈曲计算时，一阶屈曲临界载荷系数为0.66，与理论计算值一致，表明有限元计算已收敛，计算结果准确可信。如图6 所示，1 个屈曲半波内需要2～3 个八节点二阶抛物线单元模拟。综上可知，1 个屈曲半波内需要6 个四节点一阶线性单元或2～3 个八节点二阶抛物线单元才能使数值计算结果达到相同的精度；当应用有限元法计算加筋曲板稳定性时，必须进行网格收敛性分析。

图3 一阶屈曲模态（网格大小为5 mm 的一阶线性单元）

图6 一阶屈曲模态（网格大小为10 mm 的二阶抛物线单元）

2.5 网格收敛性验证

采用相同的模型以及不同的网格单元类型（一阶线性单元和二阶抛物线单元）和网格密度，记录最小屈曲临界载荷系数。由第2.2 节可知，屈曲临界载荷系数理论计算值为0.66。有限元计算结果（分别为表2 中第3 列、第4 列数值）与理论计算值之间的误差见表2（第4 列、第5 列）。将最小屈曲临界载荷系数随网格尺寸大小的变化绘制成图，如图7所示（横坐标为网格尺寸大小，纵坐标为最小屈曲临界载荷系数）。

由表2 和图7 可知，当采用四节点一阶线性单元模拟时，网格大小为5 mm，曲板屈曲有限元计算可收敛，屈曲临界载荷系数有限元计算值为0.66，与理论计算值一致。当采用八节点二阶抛物线单元模拟时，网格大小为15 mm，屈曲有限元计算可收敛，屈曲临界载荷系数有限元计算值为0.66，与理论计算值一致。因此，网格大小为5 mm 的一阶线性单元与网格大小为15 mm 的二阶抛物线单元可达到相同的精度，从计算效率和精度方面来考虑，进行壁板加筋曲板稳定性有限元计算时尽量选用八节点二阶抛物线单元。

表2 屈曲临界载荷系数及与理论计算值对比

图7 最小屈曲临界载荷系数随网格大小变化的关系图

3 结论

该文开展了铝合金加筋曲板稳定性有限元计算，通过改变网格密度和单元类型来获取铝合金加筋曲板屈曲临界载荷系数，并将其与理论计算值进行对比，得出以下2 个结论：1） 网格密度和单元类型直接影响加筋曲板稳定性有限元计算。从计算效率和精度方面来考虑，进行壁板加筋曲板稳定性有限元计算时尽量选用八节点二阶抛物线单元。2）将屈曲临界载荷系数有限元计算值与理论计算值进行对比，判断有限元计算的收敛性，从而验证网格密度分析在加筋曲板稳定性有限元计算中的必要性。