梁新成，宋 胜，张勉，黄国钧

(1.西南大学工程技术学院，重庆 400715；2.西南大学人工智能学院，重庆 400715)

锂离子电池内部包含的正负极活性物质、粘结剂、导电剂等会因为持续的化学反应而老化，故锂离子电池存在寿命老化问题[1-2]。锂电池作为系统供能的关键环节，其寿命衰退会导致系统发生故障、崩溃甚至人员伤亡，因而对锂电池的剩余寿命预测具有现实意义。

锂离子电池的剩余寿命(RUL)预测主要分为基于模型、数据驱动和融合的预测[3]。基于模型的预测主要应用电池的电化学机理分析其老化过程，由于需要大量的参数且运算复杂，故鲜于工程应用；数据驱动的预测普遍概念不明确或过于复杂，或因缺乏完整的建模理论和方法限制了其在工程领域的应用[4]。融合型预测兼具上述两种算法的优势，通过寻找数据随时间变化的规律或系统内部的递推关系进行预测，常用的算法有扩展卡尔曼滤波算法[5]、改进的粒子滤波算法[6-7]和基于机器学习的算法[8-9]。考虑锂离子电池的高度非线性，本文将采用几种方法对锂离子电池RUL预测的结果进行比较，以期遴选出更适合的方法，实现锂电池的充分使用。

1 锂离子电池RUL 预测的描述

1.1 锂离子电池的RUL 描述

锂电池RUL可以通过剩余容量描述，而描述剩余容量的方法主要有机理法和经验法。机理法具有高可靠性和高外推性的优点，但参数众多且计算过程非常繁琐，难以在线应用；经验法虽然简单但是缺乏理论依据，且多以容量衰减20%的情况为研究对象。鉴于锂电池老化时，其功率和能量也会发生变化，故使用以下公式进行描述：

式中：Powerc是当前最大功率；Poweri是初始最大功率；Ubat,min是电池截止电压；OCV是电池开路电压；Ro,c是电池当前的欧姆电阻；Ro,i是电池初始的欧姆电阻；SOHp是当前的最大功率和初始最大功率之比。式(1)化简则有：

相似地，可以推出电池的最大能量之比：

式中：Energyc是当前最大可用能量；Energyi是初始最大能量；Ubat,tc是当前电压值；Ibat,tc是当前电流值；Ubat,ti是初始电压值；Ibat,ti是初始电流值；tc是当前放电时间；ti是初始放电时间。

对式(3)进行近似处理，用平均电压Ubat,m代替各个时刻的电压，用平均电流Ibat,m代替各个时刻的电流，化简后则有：

式中：Cc是当前电池容量；Ci是初始电池容量。

式(2)和式(4)表明，电池的寿命状态可以用欧姆电阻和容量进行描述。由于欧姆电阻的辨识需要通过混合脉冲功率测试实验获取，故主要应用于离线场合；而容量可以实现在线估计。考虑到车载锂电池容量衰退至80%则需要退役，故本文关于锂电池RUL的预测都是基于式(4)的。

1.2 锂离子电池RUL 预测的可行性

锂离子电池老化时出现的电解液分解、隔膜微孔关闭、集电极腐蚀、过渡金属溶解、石墨材料脱落和固体电解质界面膜(SEI)生成都是一个缓慢的过程，个别的逆反应如SEI 的溶解等并不能改变电池总的变化趋势。因此，根据部分数据预测电池的总趋势是可行的。此外，相关锂电池的充放电实验也证实了用机理法预测寿命的合理性[10]，这都为RUL的预测提供了依据。

2 几种预测算法的推导

锂电池具有高度非线性的特点，精准地描述锂电池的RUL具有很大的难度。本文将采用二次函数(QF)、灰色模型(GM)和扩展卡尔曼滤波法(EKF)三种方法进行对比研究，以探索锂电池RUL的可靠预测方法。

2.1 QF 的推导

参阅相关文献，二次函数也可以用来描述电池的RUL。建立电池的模型表达式：

式中：Cn是电池n次循环后的最大容量；a、b、c分别是二次函数的系数；en是模型的观测噪声。

根据实验所得的电池容量数据，电池的容量用矩阵表示：

再结合实验所得的数据，以最小二乘法拟合曲线，得到a、b、c的拟合值：

至此，二次函数的容量退化模型可以表示为：

则电池的RUL估计和预测精度可以表示为：

2.2 GM 的推导

灰色模型属于颜色预测模型的一种，颜色预测模型大致分为黑、白和灰三种。白色预测模型是指系统内部的特征完全已知，黑色表示系统的内部特征为零，而灰色则介于二者之间，表示内部特征部分已知。灰色模型常见的表达式为GM(n,x)，即用n阶微分方程对x个变量建立模型。灰色模型的应用步骤如下：

(3)对C(1)建立关于时间t的一元微分方程：

式中：a、u为未知参数，也称为矩阵的灰参数。

(4)对生成的累加数据做均值处理，得到：

(5)利用最小二乘法对灰参数进行拟合并代入可得：

2.3 EKF 的推导

根据控制理论，任何非线性系统可表示为：

式中：t是离散的时间变量；X(t)是非线性系统的状态；G(t)是噪声；Z(t)是观测值；W(t)和V(t)表示高斯噪声；f和h是非线性函数，二者的协方差为Q和R。

为了简化计算过程，需要将非线性模型的估计值用一阶泰勒级数展开：

则有：

同理，观测函数也用一阶泰勒公式展开：

再按照EKF 算法的计算步骤分别进行更新变量、协方差等相关运算。

3 数据的处理和验证

锂电池的寿命实验需反复对其做充放电实验直至其达到失效阈值。该实验过程既要花费较长的时间，同时也会造成电池不可逆的损坏。鉴于此，本文使用NASA PCoE 完成的实验数据。该电池的额定容量为2 Ah，工作温度是24 ℃，充放电电流分别为1.5 和2 A，充电的截止电压是4.2 V；4 块电池放电的截止电压略有不同，分别是2.7、2.5、2.2 和2.5 V。4 块电池的寿命曲线如图1 所示，考虑到B5 和B7 电池的波动较小，而B18 的数据过少，为了更好地验证算法的鲁棒性，选取波动较大的B6 电池进行研究。

图1 锂电池的寿命曲线

3.1 锂电池的数据处理

根据上文推导出的公式，分别选择60 次、70 次和80 次循环数据作为训练数据，应用二次函数、灰色理论和扩展卡尔曼滤波算法进行剩余寿命预测，所得结果如图2～4 所示。

图2 应用二次函数的锂电池RUL预测

3.2 锂电池的数据分析

将图2～4 中三种算法的预测结果进行整理，所得锂电池剩余寿命预测结果如表1 所示。由表1 可知，二次函数法的预测误差最大，在三种算法中结果最差，效果最不理想；灰色理论预测法与二次函数预测法相比，误差相对改善，效果较为理想；而扩展卡尔曼滤波算法的预测误差最小，结果最好，效果最为理想。

图3 应用灰色理论的锂电池RUL预测

图4 应用EKF的锂电池RUL预测

表1 几种方法的锂电池RUL 预测

为了验证扩展卡尔曼滤波算法的鲁棒性，将其应用于其他的B5、B7、B18 三块电池，具体结果如表2 所示。

表2 EKF 对其它电池的RUL 预测

4 锂电池RUL 预测的改进

4.1 EKF 算法的不足

相比二次函数法和灰色理论，EKF 算法的精度已经相对较高了。但是与参考文献[7,11]的联合预测算法相比，该算法还有提高的余地。分析可知，造成较大误差的原因是当非线性函数展开时，丢弃了二阶项及高阶项。无迹卡尔曼滤波(UKF)算法用无迹变换来处理均值和协方差的非线性传递问题，用一系列确定样本逼近状态的后验概率密度，是对非线性函数概率密度分布进行的近似，因此可以克服EKF 精度低和稳定性差的缺点[12]。

4.2 UKF 算法的使用

无迹变换(UT)是UKF 算法最为核心的部分，它的核心思想是用一些数量固定的参数去近似一个高斯分布，本文选择对称采样法获取Sigma 点，其计算流程如图5 所示。

图5 UKF的计算流程

根据图5 所示的UKF 计算流程，完成新的程序设计并对相关的锂电池寿命数据进行处理，计算结果整理后如表3 所示。UKF 计算结果的精度要高于EKF，其最大误差值减小，数据的分布也更加均匀。

表3 UKF 的仿真结果

5 结论

用锂电池剩余容量来描述其RUL，计算过程简单且适合在线监测。相比QF 和GM 算法，EKF 算法的精度要高得多，鲁棒性较好；而UKF 算法克服了EKF 算法的不足，精度有改进。考虑到锂电池RUL预测的艰巨性，建议UKF 算法与其他算法进行联合，进一步提升预测的准确性。