郑茂波，李良江，谢圣富，张 敏

(成都工业学院 a.大数据与人工智能学院；b.材料与环境工程学院；c.计算机工程学院，成都 611730)

在电子制造行业中，印刷电路板(Printed Circuit Board，PCB)的回流焊工艺是表面贴装生产技术(Surface Mounted Technology，SMT)重要的一环，该工艺过程直接影响电子产品的质量与可靠性[1]。回流焊工艺过程的控制在工艺上表现为炉温曲线的控制，炉温曲线的设置可直接决定回流焊接工艺的好坏，这与材料的特性(导热率、密度等)、传送带速度、各温区的温度设置等多种因素相关。因此，为避免因炉温曲线不适当而引起的焊接缺陷，制定符合印刷电路板的理想炉温曲线至关重要。

目前，国内研究还主要从潜在失效模式效应分析入手，从避免焊接缺陷及材料的特性出发，来优化炉温曲线。但该方法在实际应用中，一般还需要进行若干次实验，才能调试出适合焊接的工艺参数，以匹配相应的炉温曲线。

本文采用数学建模的思想，建立一维热传导模型，采用有限差分、最小二乘误差及优化搜索等方法，建立炉温曲线的最优控制数学模型。通过该模型来分析回流焊接各关键工艺参数对焊接区域的炉温曲线可靠性的影响，并对炉温曲线进行优化，其中包括回焊炉中各温区的设定温度及传送带速度的优化。

1 问题阐述

某回焊炉内部共有11个小温区，从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区，另包含一个炉前区域及一个炉后区域(如图1所示)。1)每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前、炉后区域长度均为25 cm；2)生产车间的温度保持在25 ℃；3)温度传感器在焊接区域中心的温度达到30 ℃时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时；4)在实验时，传送带的过炉速度为70 cm/min，焊接区域的厚度l=0.15 mm，各个温区的实验设定温度及速度如表1所示；5)在实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行±10 ℃的调整。调整时要求小温区1～5中的温度保持一致，小温区8～9中的温度保持一致，小温区10～11中的温度保持25 ℃。传送带的过炉速度调节范围为65～100 cm/min；6)在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足制程界限要求如表2所示。

图1 回焊炉截面示意图

表1 各温区实验设定温度及速度

表2 制程界限

2 模型的准备

2.1 热传导方式的确定

热传递有3种基本方式：热传导、对流传热和辐射传热[2]。1)热传导是依靠物体内分子的相互碰撞进行的热量传递过程。2)对流传热是流体内部质点发生宏观相对位移而引起的热量传递过程，对流传热只能发生在液体或气体流动的场合。3)辐射传热是热量以电磁波的形式在空间的传递称为热辐射。

本问题中温度的传导不发生在液体或气体流动的场合且不在电磁波空间进行热量传递，因此只需考虑热传导的传热方式。

2.2 稳态传热与非稳态传热的确定

物体中各点温度不随时间改变的传热过程均称为稳态传热，反之则称为非稳态热传热过程。

1)对于炉内温度的变化规律，各温区温度及间隙温度属于随距离改变的传热过程，因此该传热过程为稳态的传热模型。

2)对于印刷电路板焊接区域温度的变化规律，传送带具有一定的过炉速度，焊接区域的温度随时间而改变，因此该传热过程为非稳态的传热模型。

2.3 热传导方程

在三维条件下，热传导方程应满足[3]：

(1)

由于问题中热传递的过程可看作只在一个方向进行，即炉内温度沿水平方向传递，焊接区域温度沿竖直方向传递；且无其他不均匀热源及传热过程，所以无需研究三维传热。将式(1)简化为：

(2)

3 模型的建立

3.1 炉内温度分布——一维稳态热传导

在炉内的水平方向上建立一维坐标系Ox，如图2所示。

图2 炉内温度传热坐标

当回焊炉启动后，小温区产生的热量持续向空气输入最终区域平衡，即平衡后炉内各点的温度不随时间而改变，则：

(3)

连续2次积分后可得到炉内温度分布函数：

T(x)=c1x+c2(0≤x≤410.5)。

(4)

1)初值条件确定。

由于炉内温度分布为稳态热传导，在短时间内炉内温度达到稳定状态，与时间无关，则初值条件不存在。

2)边界条件确定。

(5)

式中：x=xi, j表示第i个间隙处的左边界或右边界，即j=0表示左边界,j=1表示右边界；Tx+j则表示相应温区的温度。

3.2 焊接区域温度分布——一维非稳态热传导

在焊接区域建立一维坐标系Oy，如图3所示。

图3 焊接区域温度传热坐标

焊接区域温度传导为一维非稳态热传导。在非稳态传导中，各点温度随时间改变，则热传递微分方程为：

(6)

1)初始条件确定。

在起始位置t=0时，电路板焊接区域的初始温度为T0：

T(y,0)=T0。

(7)

2)边界条件确定。

根据牛顿冷却定律可知[4]，电路板两端的边界条件为：

(8)

式中：Te表示电路板进入回焊炉中外界温度；σ表示牛顿冷却方程中的冷却系数。

综上，可得到一维热传导方程组：

(9)

3.3 差分法求解与传热系数确定

由于方程组(9)比较复杂，无法得到解析解，需要采用数值解法。偏微分方程定解问题的数值求解方法通常有2种：元素法和差分法，本文采用差分法进行计算[5]。

(10)

在求解差分方程的过程中，建立最小二乘法的估计模型[7]，并结合上述的初始条件与边界条件，来确定冷却系数σ及传热系数a的值。其估计模型为：

(11)

4 模型热学参数的确定

根据2020年全国大学生数学建模竞赛的A题中数据：各温区设定温度分别为u1=175 ℃(小温区1～5)、u1=195 ℃(小温区6)、u1=235 ℃(小温区7)、u1=255 ℃(小温区8～9)及u1=25 ℃(小温区10～11)，为提高求解的准确度，可将其分为这5个温度区间进行分段拟合，且传送带的过炉速度为70 cm/min，利用实验数据调整各参数，并得到最终理论与实际的炉温曲线的对比情况，如图4所示。

图4 炉温曲线对比

5 最优炉温系统设计

理想的炉温曲线要求超过217 ℃到峰值温度所覆盖的面积S(图5中阴影部分)要尽可能地更小。由此，合理地调节各小温区的温度以及过炉速度，一方面可以使其焊接质量更好，另一方面可以使其效益最大化，以达到优炉温曲线的目的。

图5 炉温曲线示意图

5.1 最优炉温曲线模型

(12)

式中：t1表示第1次达到217 ℃的时间；t2表示温度到达峰值的时间，且t2={t|T(t)=Tmax}。

约束确定：

在满足制程界限的同时还要满足各温区温度范围的条件，即以附件中实验设定的区间温度为基础，各小温区的设定温度可以在±10 ℃调整，且1～5温度中温度保持一致，8～9温度保持一致，10～11温度保持25 ℃，得到最终模型为：

5.2 最优炉温系统求解

大小网格搜索有利在于逐渐缩短步长，搜索速度快，用于求解多组变量的搜索更加有效，且更容易搜索到局部最优值，以达到全局最优的目的。

Step 1：大网格确定

取速度步长Δv1=1，取温度的步长Δu1=1，各网格点可表示为：

(13)

式中：ui, j表示第i个小温区温度的取定值。

Step 2：将各网格点参数的取定值，代入式(12)，当覆盖面积达到最小时，可得到各参数的大网格搜索值为vw和ui,w。

(14)

由于大网格设定步长较大、精确度低，需要进一步更加精确的搜索，对上述结果中已得出的参数进行进一步的处理，将已得出的结果加减大网格的步长可得参数的新取值范围。即：

(15)

Step 3：小网格确定

同理根据大网格的划分方式相同，取速度步长Δv2=0.1，取温度的步长Δu2=0.1，各网格点可表示为：

(16)

Step 4：将各网格点参数的取定值，代入式(12)，当覆盖面积达到最小时，各参数的搜索值如表3所示。

表3 温区各参数及过炉速度

6 结论

本文通过对2020年全国大学生数学建模竞赛的A题进行分析，首先建立一维的热传导模型，采用差分法与最小二乘法，使用一次性试验测量数据调整参数，得到的最终实际炉温曲线与理论炉温曲线基本重合，由此采用该模型可较好地得到炉温曲线的模型。最后又采用优化算法以及大小网格搜索法对炉温曲线进一步优化，寻找出了在满足条件下，既能提高焊接质量又能使其效益最大化的炉温曲线模型，由此使各小温区的温度以及过炉的速度都得到了优化。

因此，若要研究炉温系统，可采用本文的模型，通过一组测试数据对模型内的各参数进行调整，得到合适的炉温曲线，且能通过该模型对各小温区的温度以及过炉速度进行优化。