朱清波

(广东省广州市执信中学,510080)

在解三角形问题中,根据条件建立方程计算某些线段长度或角度时常常会产生多解(增根)的情况.若学生对这类问题理解不清晰,识别不出其中的增根,则很容易产生一错再错的现象.笔者根据课堂教学中遇到的几个案例,分析了多解(增根)产生的原因,引导学生从以下几个方面及时建立检验的意识,培养思维的严谨性.

一、对隐含条件的挖掘不深造成多解

例1在∆ABC中,已知3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则角C=______.

二、对题干条件的不等价转化造成多解

剖析本题答案为c=5.那么产生增根c=3的原因是什么呢?

本题是否可以等价转化?实际上,将条件B=2A转化为sin(B-A)=sinA即可. 这是因为在∆ABC中,由sin(B-A)=sinA只能得到B-A=A；而另一种情况(B-A)+A=π化简后得B=π,这显然是不成立的.该思路对应的具体解法如下.

三、对图形中整体与局部的关联意识不强造成多解

事实上,错解1是先通过∆ADC的条件得出cosθ,而后续独立求解∆ABD时,如图4,多出的解AB′=2，表明∆AB′D≌∆ACD,这与B′,D,C三点必须共线矛盾,故不符合题意.

对于例3,以下两种处理方法可以有效避免出现增根.

评注涉及到角平分线的计算问题,利用三角形面积分割成两个小三角形面积之和来建立等量关系,一般能得到一个一次方程,从而避免增根的产生,虽然对唯一结果还需要检验,但相比来说其难度已经小了很多.

评注利用邻角互补的性质建立等量关系,得到一个一元二次方程,增根x=-1是一个负值,其几何意义在于点B,C重合,但因为数值的特殊性,可直接舍去.

从上述三个案例中不难看出,依据等量关系所建立的方程出现多解现象,除去所解三角形自身的不确定性外,本质上在于将题干所给条件进行了不等价的转化从而造成多解.由于个体思维的差异性,学生无法保证在短时间内都能找到最优的处理办法,因此引导他们找到自身解法中出现“增根”的深层次原因,协助其建立敏锐的检验意识.当把这种反思习惯逐渐变成思考问题的一种本能后,必然会不断提升自身综合解决这类问题的能力.