龙 宇

(广东省佛山市罗定邦中学，528300)

本文以一道斜率关系的定值问题为例,从不同的视角进行解析,意在开拓学生的思维、提升解题能力.

一、试题呈现

二、解法探析

解法1以点为基本量进行计算

解法2定比点差法求解

评注该解法利用向量定比关系得出交点的坐标关系,结合定比点差法消元,值得借鉴.

由椭圆的第二定义,可知线段间的比例λ与直线l的倾斜角θ以及椭圆的离心率等信息相关.为此,笔者尝试使用第二定义进行求解.

解法3利用第二定义结合焦半径求解

评注本解法利用椭圆的第二定义表示CF，DF,在计算斜率方面也是通过几何视角进行解释,对应的计算量较小.

椭圆第二定义的核心在于椭圆的焦点与准线,为此,笔者考虑所求式与椭圆准线间的关系进行求解.

解法4利用准线求解

根据椭圆的第二定义可获得焦半径的公式,而椭圆的第三定义则直接讨论斜率的关系.接下来,笔者将利用第三定义[1]求解.

解法5利用第三定义转化斜率的关系求解

椭圆的第三定义是:平面内的动点到两定点A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘积等于常数e2-1的点轨迹(连同点A1,A2)叫做椭圆,其中的常数e2-1∈(-1,0).

此时可利用上述三种解法计算两个斜率的乘积,本文不再详述.这里介绍一种构造斜率方程[2]的技巧,来计算该值.

构造斜率方程的本质是利用条件获得一个关于斜率k1，kAD的一元二次方程.为了实现该目的,需将原图形进行平移变换.

评注该解法的核心在于构造出关于k的二次方程,其本质是获得一个二次齐次式,在构造的过程中要充分地观察表达式的特点,合理利用消元的技巧.

解法6利用伸缩变换,化椭圆为圆

评注伸缩变换[3]的本质是一种坐标变换,能实现化椭圆为圆,利用圆中含有的丰富的几何性质解决问题,再利用伸缩变换的性质反馈到椭圆,使原问题获解.