陶勇胜

(浙江省杭州市学军中学海创园校区, 311121)

在近些年高考压轴题中,以导数为背景的双变量问题一直是导数题中的热点和难点[1]. 这一类问题解法众多且技巧性强,对学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养有较高的要求.本文从2021年一道全国高考题说起,多角度谈谈导数视角下的双变量问题的常见处理途径.

一、构造函数法

例1(2021年全国高考题)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性;

证明(1)f(x)在(0,1)单调增,在(1,+∞)单调减.(过程略)

证法1利用对称性构造函数

令F(x)=f(1+x)-f(1-x),其中00,F(x)在(0, 1)单调增,有F(x)>F(0)=0,从而f(1+x)>f(1-x).令x=1-x1,则f(2-x1)>f(x1),即f(2-x1)>f(x2).又因为f(x)在(1,+∞)单调减,且x2>1,2-x1>1,所以x2>2-x1,即x1+x2>2.

评注本题若构造函数p(x)=f(x)-f(e-x)证明x1+x2

证法2利用同构法构造函数

评注本题x1+x22的证明过程有较大不同,原因是g(x)=x2-2xlnx在(0,+∞)有单调性,而h(x)=x2-exlnx在(0,+∞)不是单调函数,因此,利用函数的单调性无法直接证明h(x2)f(x),而当1

二、数形结合法

“数缺形时少直觉,形少数时难入微”,数形结合是解决函数及导数问题的重要思想方法.下面从数形结合角度谈谈处理双变量不等式问题.

1.以直代曲

例2已知f(x)=xlnx的图象与直线y=a有两个不同的交点A,B,其横坐标分别为x1,x2(x1

(1)求a的取值范围;

(2)求证:

(2)先证ae+1

设直线y=a与直线OB,AB交点的横坐标分别为x3,x4,则x3=-a,x4=(e-1)a+1,从而有x2-x1>x4-x3=ea+1.

评注2015年天津理科卷第15题用双切线代替曲线[1]及2021年全国新高考I卷第22题(例1)用切线、割线代替曲线[5]证明双变量不等式,说明以直代曲的方法是处理双变量问题的有效方法之一.

2.以曲代曲

分析这是一道双变量不等式证明的经典题,可通过齐次化、比值代换、比差代换、增量法[2]-[5]等方法求解.下面从数形结合的角度、以曲代曲的方法进行探究.

评注此法中构造二次函数h(x)是关键步骤,它需满足两个条件:(1)以f(x)的极值点坐标(x0,f(x0))为顶点构造h(x)=a(x-x0)2+f(x0);(2)作差函数F(x)=h(x)-f(x),利用F″(x)=0求出二次函数的系数a.

三、放缩法

例4题目同例1.

解① 证明x1+x2>2.

② 证明x1+x2

因为00,得f(x1)=x1-x1lnx1>x1.

四、主元法

数学解题中,有些题目按常规解法较难,但若更换观察问题的角度,一动一静,主客换位思考,往往有出奇制胜的效果.