基于观测器的区间二型模糊系统的滑模控制

2022-06-08许梦雅付世州周绍生

杭州电子科技大学学报(自然科学版) 2022年3期

许梦雅，付世州，周绍生

(杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018)

0 引言

1975年，Zadeh[1]首次提出二型模糊集的概念，提高了模糊集设计的自由度，简化了计算复杂度[2]。文献[3]针对一类一般非线性系统，构造了一种使系统状态能够在有限时间内驱动到滑模面的滑模控制器，解决了系统有限时间有界性问题。文献[4]针对状态不可测和网络攻击下的区间二型模糊系统，设计一种使系统状态在有限时间内驱动到滑模面的自适应滑模控制器，得到使得系统状态稳定的充分条件。文献[5]研究一类一般非线性系统的输入-输出有限时间镇定问题，建立满足系统输入-输出有限时间镇定的充分条件。文献[6]设计一种前提变量不可测的区间二型T-S模糊系统的未知输入观测器。以上研究大多是在无限时间间隔内进行的。现实生活中，实际应用往往与动态系统在固定有限时间间隔上的行为有关，而且Lyapunov的渐近稳定性在饱和情况下不能接受欧氏范数较大的状态输入向量[7]，例如，在升压转换器中，如果电流变化太快，电路就会崩溃。因此，对有限时间有界性控制方法的研究很有必要。文献[3]研究的是含有外部扰动的一般非线性系统的有限时间有界性问题，不能很好地处理个体内与个体间的不确定性，也不能抑制滑模运动产生的抖震，具有一定的局限性。在文献[3]的基础上，本文运用模糊模型逼近含有外部扰动的一般非线性系统，建立区间二型T-S模糊系统，设计滑模控制器，并采用文献[3]提出的分区策略对闭环系统在滑模运动的到达阶段以及滑动阶段进行分析，给出这2个阶段的有限时间有界性的充分条件。

1 问题描述

1.1 系统描述

一类带有外部扰动区间二型T-S模糊系统用IF-THEN规则描述如下：

Plant Rulei: IFθ1(x) isN1i,andθ2(x) isN2i,…,andθp(x) isNp i,THEN

(1)

式中，Nai是前件变量θa(x)(a=1,2,…,p)在第i(i=1,…,r)条规则下的模糊集，x(t)∈Rn是系统的状态向量，u(t)∈Rq是控制输入向量；ω(t)∈Rm是扰动向量，且ω(t)满足ωT(t)ω(t)≤ο2,t∈[t1,t2]，ο为标量，本文用Ω[t1,t2],ο表示ωT(t)ω(t)≤ο2,t∈[t1,t2]；输出向量为y(t)∈Rq，Ai,Bi,C,D是适当维数的常数矩阵。系统(1)的全局模型可写为：

(2)

(3)

针对不完全可测的状态变量，本文设计状态观测器用IF-THEN规则描述如下：

(4)

(5)

(6)

1.2 滑模面设计

本文将滑模面设计为：

(7)

式中，矩阵G满足rank(GBi)=m，K是滑模控制器增益。

引理[3]给定标量c1,c2均大于0，且c10，时间区间为[t1,t2]，如果系统是关于参数c1,c2,[t1,t2],R,Ω[t1,t2],ο有限时间有界的，对于任意的t∈[t1,t2]，系统(5)满足：

xT(t1)Rx(t1)≤c1⟹xT(t2)Rx(t2)≤c2

在滑模运动(t∈[0,T])中，滑模控制的有限时间分成2个阶段，分别是滑模控制到达阶段[0,T*]和滑动阶段[T*,T]。当存在1个标量c*并满足c1

2 主要结果

(8)

定理1对于给定的正标量ε,τ,γ，如果存在矩阵Li，H=HT>0，使得以下矩阵不等式成立，

(9)

则e(t)有界，且满足Ω[t1,t2],β{eT(t)e(t)}≤β2,t∈[t1,t2]}，其中I为单位矩阵。

证明选取如下Lyapunov函数，

VL=eT(t)He(t)

(10)

由式(6)和式(8)，可得：

(11)

对式(11)进行不等式放缩，可得：

eT(t)He(t)+γ2eT(t)He(t)+λmax(DHD)ε-1ο2≤

(12)

两边同乘以e-τ1t并积分，可得：

设计如下滑模控制器，系统的状态轨迹在滑模控制器的作用下能够在有限时间T*到达指定滑模面s(t)=0上。

(13)

(14)

定理2若参数ν满足

(15)

那么，在滑模控制器(13)的作用下，非线性系统(5)的状态轨线在有限时间内到达滑模面s(t)=0。

(16)

将式(15)代入式(16)，可得T*≤T-ε

综上分析可知，对于任何给定的有限时间T，非线性系统(5)的状态轨迹可以通过滑模控制律(13)在有限时间T*内被驱动到指定的滑动面，从而得出滑模面的可达性。证毕。

定理3对于给定的非负数β,μ,c1,v,T,τ，如果存在适当维数的矩阵Y，Li，正定矩阵H，Q，且P=Q-1以及标量c*，使得以下不等式成立，

(17)

(18)

(19)

(20)

那么,非线性系统(5)在滑模运动的到达阶段是有限时间有界的。

证明把滑模控制器(13)代入非线性系统(5)，可得：

(21)

选取如下Lyapunov函数，

(22)

由式(21)和式(22)可得：

(23)

由式(14)可得：

(24)

(25)

由式(22)可得：

根据式(22)和式(25)可得：

定理4对于给定的非负数β,μ,c2,T,如果存在适当维数的矩阵Y，Li，正定矩阵Q>0且Q=P-1以及标量c*，使得以下不等式成立，

(26)

(27)

(28)

(29)

将式(29)代入非线性系统(5)，可得：

(30)

构造如下辅助函数：

(31)

由式(26)，(30)和(31)可得：

3 数值示例

对于区间二型模糊控制系统(5)，设r=2，p=2，系统参数如下[9]：

令初始状态x(0)=[2,-2]T，运用MATLAB进行仿真实验，得到系统状态x(t)的响应曲线如图1所示，控制输入u(t)的响应曲线如图2所示，系统误差e(t)的响应曲线如图3所示，滑模变量s(t)的响应曲线如图4所示。

图1 系统状态x(t)的响应曲线

图2 控制输入u(t)的响应曲线

图3 系统误差e(t)的响应曲线

图4 滑模变量s(t)的响应曲线

从图1到图3可以看出，系统的状态和误差变量在区间[0,20]上有较大的变化，控制信号波动较大，说明系统状态能快速稳定，验证了本文设计的观测器的有效性以及定理3和定理4的可行性。从图4可以看出，在t=3时，滑模变量s(t)=0，说明本文设计的滑模控制器保证了滑模面的可达性。综上分析可知，非线性系统(5)在滑模运动的滑动阶段和到达阶段都是有限时间有界的，即非线性系统(5)是有限时间有界的。