聂清文

(中铁十二局集团第一工程有限公司 陕西西安 710038)

1 引言

竖井作为一种联络上下空间的通道被广泛用于土木工程中。竖井因其占地范围小，开挖距离短在一些地形中具有显著的优势，也因其特殊的空间走向形式，造成在施工方法和过程中遇到一些特殊的困难。

目前已有诸多学者对上述问题展开研究，王林俊[1]通过优化二衬和十字隔墙的支模技术提高了超大断面超深公路隧道通风竖井施工效率。魏福贵等[2]对短段掘砌混合作业法在硬岩施工中围岩的受力和位移演化过程进行了讨论，分析了各个施工工序的位移变化速率。周雄华[3]、高贤[4]等人通过数值模拟，分析了竖井开挖过程中围岩、衬砌和结构的受力。刘健美等[5]以富水地层中的竖井开挖为研究对象，通过现场监测、数值模拟等方法对开挖后土体沉降原因进行了分析。Liu Bo等[6]针对地铁隧道上部开挖竖井的上浮位移问题，建立了整体数值模型，通过现场数据验证了技术的合理性。陈航等[7]以反井施工下竖井的纵向变形曲线为研究对象，通过建立三维竖井开挖模型，并与传统隧道的曲线进行了验证。刘力源等[8]建立竖井力学分析模型，对竖井在孔隙水压和地应力场作用下围岩损伤机制进行研究。刘焕新等[9]建立了竖井开挖岩爆多指标综合危险性等级预测模型，提出了相应处理措施。戴旭等[10]通过FLAC3D建立了三维模型，并提出了降低管线位移措施。Hu Yanbo等[11]以超厚破碎带地质下的竖井为研究对象，对地应力和破碎带耦合作用下竖井的位移情况进行了定量分析。上述研究促进了竖井施工理论的发展，推动了竖井施工技术的变革。

采用理论解析解与数值模拟结合分析方法，研究堆载作用下竖井井身受力与变形反应规律。

2 竖井圆柱壳理论模型

2.1 圆柱壳壳体理论

由于竖井井壁横截面为圆形，并且具有较大的深度，因此可以参考关于曲线地连墙的研究，将竖井井壁(初支和二衬)等效简化为圆柱壳模型进行力学分析，如图1所示。

图1 竖井井壁土压力及开挖示意

忽略井壁深度方向的位移，井壁的几何方程为[12]:

式中，ε1、ε2分别为井壁的竖向应变、环向应变；α0为环向刚度修正系数；μ为泊松比；w为井壁径向位移(m)；R为竖井的半径(m)；z为计算位移沿z坐标轴至墙体中心线的距离(m)；x为计算位置的竖井深度(m)。

考虑线弹性本构关系，井壁的物理方程为:

式中，σ1、σ2分别为井壁的竖向应力、环向应力；E为折算后混凝土等效弹性模量(Pa)。

沿厚度方向z对式(2)进行积分，可得井壁的竖向轴力N、弯矩M和剪力Q:

工程项目竖井隧道支护通常采取钢筋混凝土的支护方式，在计算时采用弹性模量折算法，如式(4)。

式中，E0为素混凝土弹性模量(Pa)；sg为钢筋截面积(m2)；Eg为钢筋弹性模量(Pa)；sc为混凝土截面积(m2)。

2.2 井壁受力分析

竖井在开挖后会对其周围区域的围岩产生扰动作用，迫使围岩进行应力释放，并产生应力重分布。随着开挖的进行，围岩进一步释放出的应力作用于竖井井壁上，使得竖井产生变形。由于圆壁挡土墙受力具有空间特征，目前尚未形成计算竖井土压力的统一方法。工程上常用计算土压力的理论公式包括朗金土压力理论、库伦土压力理论和《公路隧道设计细则》中使用的秦氏方法。

秦氏理论的计算公式为:

式中，γ为土层的重度(N/m3)；h为分层土的厚度(m)；n为分层土的数量。

朗金土压力的计算公式为式(6)。由于竖井还受到井口周围竖向堆载作用，假设堆载边缘距井中心的最近距离为dl，堆载的平面长度和宽度为d1和d2，那么可以按照(45°+φ)的水平线夹角将堆载投影至井壁对应区域，进而计算作用在竖井周围的土压力。

式中，Kai为主动土压力系数，Kai＝ tan2(45°-φi/2)；q为上部荷载(N)；c为土的粘聚力(Pa)。

秦氏理论的计算公式较为简便，但没有直接给出考虑井口均布荷载的方法。库伦土压力理论无法直接考虑土层的粘聚力。朗金土压力理论能够较好地考虑竖井周围堆载和堆载大小，因此比较适用于模型的计算。

2.3 平衡方程的建立和求解

采用里兹法可以较为方便地建立其平衡方程，考虑竖向和径向变形，竖井井壁的弹性势能可以写为式(7):

式中，w为井身水平位移(m)；D＝Et3/[12(1-μ2)]，D为墙体抗弯刚度(N/m)；t为井壁的厚度(m)；h为竖井的高度(m)。

井后土压力造成的势能写为式(8):

考虑到直接求解壳体方程的复杂性，可以把径向位移w函数采用傅里叶级数展开，进行逆向求解。

式中，i为傅里叶级数的阶数；λi＝iπL-1；。

由于位移函数在上下两端不为0，即w(0)≠0，w(L)≠0，下面将利用其边界条件计算位移函数的导数。假设位移函数的导数为:

式中，ai可以通过对wi进行分步积分得到。

由里兹法可知系统中各个势能的变分之和为0:

黑夜里的一切声音都饱含了欲望，来自一团老辣的熊熊燃烧的火焰和火焰中顿时融化的冰块，在奇特的水火相容中，他们交出了寂寞，交出了眼泪，交出了痛和血，也交出了夜的漆黑。

对于墙体的变形势能而言，对其广义坐标求偏导并通过傅里叶级数的正交性进行化简，可得:

式(13)可进一步改写为矩阵和向量形式:

式中，K中的元素，

对土压力的势能而言，对其广义坐标求偏导可得:

综合上述公式可得最终的竖井受力平衡方程:

通过求解矩阵K和向量P便可得到竖井井壁的等效平衡方程组。求解该方程组后可得井壁处径向位移w的广义坐标wi，将wi代入式(9)中可得竖井的径向位移。在每步开挖时需要重新计算作用在井壁上的土压力，然后代入平衡方程中计算其位移。

3 模型验证

3.1 工程概况

某隧道由一个竖井采用送排式对左右线进行通风，所穿过的岩层参数如表1所列，竖井布置及尺寸如图2所示。

表1 岩层力学参数取值

图2 某隧道竖井平纵面尺寸(单位:m)

3.2 数值模型建立

图3 竖井及土层数值模型(单位:m)

3.3 数值模型对比

图4为理论求解的值与数值模拟计算值对比图，由图4可知在堆载距离为5 m的情况下，竖井在堆载与开挖作用下井身位移的解析解与数值解之间的趋势较为接近。在井体深度为9 m之前井身位移的数值解略小于解析解，在9 m之后井身位移数值解略大于解析解。这是因为数值模拟是按照施工步骤进行模拟的，考虑了土体的开挖卸荷，而理论公式是直接按照土压力计算公式荷载土体对井壁的压力(没有去除自重的影响)，加之数值模拟采用有限差分计算，计算结果的取值存在截断误差。总体而言，竖井圆柱壳模型计算结果较为可靠，可用于竖井受力快速分析。

4 计算分析

4.1 堆载距离分析

将地表堆载作用换算为长宽为20 m×20 m的荷载区域，荷载幅值为20 kPa，分别计算堆载与竖井衬砌距离dl＝5、10、15、20、25、30 m 作用下工况，探讨开挖深度为20 m内对竖井衬砌的水平位移和弯矩的影响。

通过图 5 可知，dl为5、10、15、20、25、30 m 下对应的竖井衬砌最大水平位移值分别为3.04、2.89、2.76、2.72、2.72、2.72 mm，两值之间的递减幅值为4.93%、4.49%、1.45%、0%与0%。

图5 不同堆载距离下竖井水平位移曲线

由图6可以看出井身的弯矩基本呈“S”型分布，在井口附近具有一定负向弯矩，这是因为井口土层具有一定的粘聚力，在开挖卸荷后会给井身造成一定的反向张拉作用，因此该部位需要加强布置钢筋，以确保结构的安全性。

图6 不同堆载距离下的竖井纵向弯矩曲线

4.2 堆载大小分析

为了探索竖井上方的地面堆载大小对开挖区位移的影响，选择堆载距离为15 m，堆载大小为10、20、30、40、50、60 kPa 等 6 种工况展开数值计算，探讨堆载大小对竖井衬砌水平位移和弯矩的影响。

由图7可知，不同堆载大小下井身位移的分布较为相似，在井身下半部分位移受堆载大小的影响较大，随堆载大小的增加井身最大位移幅值增加，并沿着土层深度方向发展。

图7 不同堆载大小下竖井水平位移曲线

由图8可知，不同荷载作用下竖井的弯矩曲线仍呈“S”型分布，且随荷载幅值的增加井身弯矩随之而增加，在堆载为60 kPa时井身弯矩最大，为7.84×103kN˙m。因此，在井口堆载较大时需要提高井身抗弯钢筋的设置。

图8 不同堆载作用下的竖井井身弯矩曲线

5 结论

(1)通过里兹法建立的竖井圆柱壳理论模型求解出竖井在开挖完成后的井身水平位移值，并与有限差分数值模型解进行对比，两种方法得到的计算结果基本吻合。

(2)随着地面堆载与竖井距离值增加，井身水平位移逐渐增加，堆载与竖井距离为10 m时其井身弯矩达到最大，且当堆载距离大于20 m时，井身静力反应变化不再明显。

(3)随地面堆载值增加，井身弯矩呈线性增加，当堆载为60 kPa时，井身弯矩达到最大。

(4)本文只考虑了堆载作用对竖井井身变形受力的影响，后续还可进一步考虑井后水压、井内支撑及设备对井身受力的影响。