二次根式是我们在学习了“整式”“分式”之后的又一类重要代数式。人们在探寻和研究它的过程中遇到了哪些事呢？下面，我们一起了解一下吧。

一、根号的“追根溯源”

早在1480年，德国人便开始用一个点来表示方根，如∙3表示3的平方根，∙∙3表示3的4次方根。到了16世纪初，平方根用小点带上一条小尾巴来表示，就像一个小蝌蚪，因而很难统一标准。1525年，德国数学家鲁道夫的代数书中用√8表示8的平方根。显然用“小钩子”要比“小蝌蚪”好多了，不过后来又出现了新问题。相传，两个工作人员因为式中的“[√g]2+100”产生了矛盾，差一点要上法庭打官司。究其原因，是因为小钩子“[√]”的意义不明确，不知道它能管后面几个字母及数字。

后来，笛卡尔在他的《几何学》中创设了现代的平方根号“[]”，在原书第一版中写道：“如果我想求a2+b2的平方根，就写作[a2+b2]。”笛卡尔的根号与鲁道夫的根号的最大区别在于：笛卡尔考虑到被开方数有几项，而鲁道夫的根号会引起混淆。

二、分母有理化

黑白双雄，纵横江湖;双剑合璧，天下无敌。这是武侠小说中的情景。在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”。

例1 （[2+3]）（[2-3]）=1，2+[3]和[2-3]的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式。于是，二次根式[2+32-3]就可以这样化简：

[2+32-3=（2+3）（2+3）（2-3）（2+3）=（2+3）2]=[4+43+3]=[7+43]。

像这样，分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化。那么[4+7]的有理化因式是多少呢？你会对[4-74+7]进行化简吗？试试看！

三、逐步逼近法

科学领域里用逐步逼近法处理问题是极为广泛的。在物理、化学、生物诸多实验中，寻找某一反应现象的最佳状态时，往往用到逐步逼近法。在数学计算中，“逐步逼近法”是常用的计算方法，比如估算二次根式的近似值就用到了逐步逼近法。

例2 计算[13]，用计算器可以立即知道[13]的近似值，但是若生活在荒岛上，又未带计算器和其他资料，人们就可以用逐步逼近法计算[13]的近似值，更重要的是，这种方法还可以运用到其他问题中。

第一次逼近：由于3<[13]<4，所以可设[13]=3+x（x是一个正的纯小数）。两边平方，得13=9+6x+x2。由于x是一个小量，所以x2是一个比x更小的高次小量，可以忽略掉，故13≈9+6x，即x≈[23]。所以[13]≈[323]。

第二次逼近：设[13]=[323]+y，两边平方，得13=[1219+223y+y2]≈[1219+223y]，所以y≈[-233]。于是[13]≈[323-233=11933≈3.606]。

继续逼近下去，可以得到更精确的近似值，你可以试试哟！

四、巧合数

数学中存在着许多著名的巧合，这些巧合往往是人们从许多不同的角度观察到的。巧合是一种现象，它常会给人们带来惊奇与不解。二次根式中就存在这种巧合。

[223=223]是一对巧合数，类似地，我们还可以找出其他巧合数：[4415=4415]，[5524]=[5524]，[8863]=[8863]。我们知道，根号里面的数不能轻易地直接放到根号外面来，那么，为什么这些数可以呢？是巧合吗？

观察可得规律[a+aa2-1]=[aaa2-1]（a>0且a≠1），那么这个式子是恒等式吗？我们不妨来推理一下。

[a+aa2-1]=[a（a2-1）a2-1+aa2-1]

=[a3a2-1]=[aaa2-1]。

太妙啦！如果你不满足于此，有更大胆的猜想，不妨以三次方根为例试试看。不要忘记，猜想成为真理，是要经过严格证明的哟！

五、见招拆招

我们在解决数学问题的过程中，往往会遇到没有学过的知识。出题人会制造干扰因素迷惑我们，此时要跳出思维圈，抓住问题本质，理性分析，严密推理，做到“见招拆招”。比如，二次根式中的复合二次根式是我们没学过的知识，如何见招拆招呢？我们追寻其本质，开方是平方的逆运算，反过来，我们只需将复合二次根式的被开方式变形成完全平方形式，即可进行开方运算了。

例3 计算：[4+23]。

[分析]因为[4=（3）2+1]，所以4+[23=3+23+1=（3）2+23+]1=[（3+1）2]。

解：[4+23]=[（3+1）2]=[3+1]=[3+1]。

实际上，本题就是利用配方法化简形如[a+2b]（ a，b是正有理数，b不是完全平方数）这样的二次根式，将它的被开方式配成完全平方的形式即可。你能利用上述方法化简[7-210]吗？试试看！

六、跨界融合

我们耳熟能详的词语“跨界融合”是随着互联网高速发展涌现出的热词中的一个。毫不夸张地说，我们已经进入到跨界融合的時代，行业间交叉、整合、互相渗透已经常态化。数学也不例外，数学中常常用“跨界融合”（数形结合）的方法解决问题。二次根式中就有通过“跨界融合”（数形结合）的办法解决的问题。

例4 求代数式[52+（8-x）2]+[12+x2]的最小值。

解：如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x，则 [AC+CE=52+（8-x）2+12+x2]。

<E：＼初中生＼初中生 八年级7-8＼蒋月兰-1.tif><E：＼初中生＼初中生 八年级7-8＼蒋月兰-2.tif>

图1                          图2

当A、C、E三点共线时（如图2），AC+CE的距离最短，即为AE的长。过点A作DE的垂线，垂足为F，则AF=BD=8，EF=DF+DE=AB+DE=5+1=6，可得AE=10。

此时二次根式遇上了图形，竟是如此简单、妙趣横生！我们不禁想起大数学家华罗庚的一段话：数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休！

请你尝试仿照上面的“跨界融合”（数形结合）的方法，求代数式[x2+4+y2+9]的最小值，其中x+y=12，x>0，y>0。

关于二次根式的精彩趣事还有很多很多，在此就不一一列举了。其实，不仅仅是二次根式，数学知识体系中的每个知识点都有其“成长”的过程，都有许多的“趣事”“巧合”“跨界”等待我们去欣赏、发现。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区第一实验学校）