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《赖因德纸草书》中的古埃及数学问题

2022-05-31梁宗巨

语数外学习·高中版中旬 2022年8期
关键词:算术古埃及著者

梁宗巨

现在,我们主要是通过用僧侣文写成的《赖因德纸草书》(Rhind Papyrus)来了解古埃及的数学.《赖因德纸草书》是一部古老的埃及数学著作,约成书于公元前1650年.阿梅斯(Ahmes)不是原著者,《赖因德纸草书》是他从别的书上抄下来的,间或还有一些笔误. 该书最早被发现于埃及底比斯的废墟中.公元1858年由英国的赖因德(A. H. Rhind)购得,后将其命名为《赖因德纸草书》.现藏于伦敦大英博物馆.该纸草书全长544厘米,宽33厘米.它大概是当时比较实用的一种计算手册,记述了千余年来埃及的一些数学问题.

全书共列有84个题目,可以分为4部分.

2.第1-40题属于算术与代数问题.

3.第41-60题是有关几何学的问题.

4.第61-84题是杂题.

研究赖因德纸草书的文章和书籍很多,其中较有名的是艾森洛尔(A.Eisenlohr)的《古埃及的数学手册》(1877年).这是最早出版的文献.接着有不列颠博物馆刊行的《赖因德数学纸草书的摹真本》.近代补缺后出版的有皮特(T.E.Peet)的《赖因德数学纸草书》(1923 年),更新的有蔡斯本(1927年-1929年),日文本的有高崎升著《古代エジプトの数学》(1937年).

一、算术运算

僧侣文的记数法属分级符号制.整数的加、减法很简单,只要将表示数目的符号累积起来,再转写成相应的符号即可.但分数的加减法却相当复杂,因为所有的分数都要化成单分数.

符号和术语),先写1和25(表示1×25=25),作为第1行,再写2和50(表示2×25=50),以下依次加倍,加到16可不必再加下去.因为再加倍,则所得的结果就会超过乘数18.从左边那列数(1,2,4,8,…)中选出若干个,使其和凑成18.本例中用的是2与16,在其前面都打上*号,再将右列中与*号对应的数相加,即得25×(2+16)=50+400=450.其计算过程如下:

除法的原理与乘法的一样,只需将运算的步骤倒过来.仍以此题为例,计算:25×________=450,就要将乘法运算变成除法运算,即计算:450÷25=________.原来的积变成被除数,而被乘数变成了除数.现在要在右列中选出一些数,使其和凑成450.本例中用的是50、400,在其旁边标上*号.再将左列中和·号对应的数2、16相加,即得商18,其计算过程如下:

再举一例:若一个数(包括分数)乘上8等于19,则这个数为多少?

二、代数问题

第24-29题属于现在代数中的一元一次方程问题.图1是第24题,上面是僧侣文,下面是象形文字的译文.象形文的每个字上面都标有相应的拉丁字母或阿拉伯数码.

三、等差、等比数列

第79题(图2)是等比数列题,其等比数列的首项与公比都是7.原题分左右两列,右列是2801×7=19607 的算式,左列列出了数列的前5项,每一项的旁边注有一个字,但没有作任何说明,最后用加法算出5项的总和,其运算过程如下:

有人猜测作者的原意是:有7间房子,在每间房子里养7只猫,每只猫吃7只鼠,每只鼠吃7粒麦子.若将这些麦子种在土地里,每粒麦子产出的可装满7个容器,问一共有多少个容器?著者最后用加法算出这些数的总和为19607,和右列的2801×37相同,可见著者对求和更有兴趣.

右列的2800是数列前4项之和,而2801×37=19607是前5项之和.著者大概想用此例来说明一个规律:若等比数列的首项与公比都是r,那么前n项的和S等于前n-1项和加1再乘以r.

Sn=(Sn-1+1)r

Sn=rn+rn-1+…+r2+r

=(rn-1+rn-2…+r+1)r

=(Sn-1+l)r

这是很显然的.

这一类问题经常出现在不同年代、不同地区的书籍中,饶有趣味.如斐波那契的《算盘书》(LiberAbaci,1202)中就有這样的问题:“7个老妇去罗马,每人牵着7匹骡,每匹骡驮7个袋,……”后来在算术书中又有这样的歌谣:

我赴圣地艾夫西(Saint Ives),

途遇妇女数有七,

一人七袋手中提,

一袋七猫数整齐,

一猫七子紧相依,

妇与布袋猫与子,

几何同时赴圣地?

中国的《孙子算经》卷下(3世纪)有这样一道题:“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何?”这样和前面的题异曲同工.

古埃及人在长期的生产活动中积累了丰富的实践经验.但古埃及人的数学知识是零碎的、片断的,尚未形成严整的体系,还缺乏逻辑.古埃及数学在算术方面采用了单分数,使得四则运算非常麻烦,它实际上是阻碍数学前进的绊脚石.

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