第八章 分式

领    衔    人：浦叙德（特级教师，正高级教师）

组稿团队：江苏省无锡市新吴区教师发展中心

为了帮助同学们全面系统地掌握本章知识技能和思想方法，领会知识内涵和本质，老师将从下面三个方面来加以剖析。

一、认清分式概念的本质

我们七年级学过“用字母表示数”的相关知识，所以，从分数到分式，实际上就是由特殊的数走向一般的式;我们还学过整式，知道单项式和多项式统称为整式，并由此得到了分式。由此可见，分式与分数、整式有着千丝万缕的联系。我们既可以把分式看成是分数的一般化，又可以将其看成是两个整式之间的特殊除法。另外，整数和分数统称为有理数，同理，整式与分式统称为有理式。由此充分说明，数与式及其发展是一脉相承的，数式之间相同的性质，简称数式通性。

二、掌握分式性质和运算

既然从分数到分式是从特殊到一般，那么，我们学习分式就要利用数学的类比思想，从分式的源头——分数出发，设法把新知识（分式的问题）转化为旧知识（分数的问题）。可见，在本章学习中，特殊到一般、类比、转化就是最重要的数学思想方法。

下面以“异分母分式相加减”为例具体说明。我们可以从图1看到异分母分式的加减是如何一步步通过类比和转化，变成我们完全熟悉的整式加减，最后变成最简单的整数加减。

三、学透分式方程及应用

初中代数的知识分为数、式、方程、不等式、函数五块。如果引进负数是初中代数的第一次飞越，那么从数走向式，就是初中代数的第二次飞越。我们学习数与式，归根结底是为学习方程、不等式和函数等知识奠基。因此，分式方程可以认为是分式的数学运用，而用分式方程解决实际问题又可以认为是分式的实际应用，两者都体现了分式的价值。

在学习分式方程时，我们自然会联想到整式方程。通过类比，我们可以发现，分式方程比整式方程多了一个含有未知数的分母，所以，分式方程必须要检验，避免分母为0时式子无意义。另外，分式方程的解法步骤中，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，与整式方程的解法步骤唯一不同的是去分母。整式方程去分母是方程两边同时乘各分母的最小公倍数，而分式方程是方程两边同时乘各分母的最简公分母。一旦去分母成功，分式方程就变成了整式方程。因此最简公分母中必定含有未知数，所以，这个最简公分母的值可能为0，这是分式方程会产生增根的本质原因。如果求出的未知数的值使最简公分母为0，那么这个未知数的值就是原方程的增根，否则就是原方程的根。

利用分式方程解决实际问题，跟前面所学的用一元一次方程、二元一次方程組等各类方程来解决实际问题一样，都是根据题目中的等量关系，设法把实际问题抽象、建模成数学中的方程问题，然后利用方程的知识进行求解。由于分式方程的特殊性，求出来的解需要先检验是不是原分式方程的解，再检验是不是实际问题的解。

从上面的研究我们可以看出，分式来源于分数，也可以看成来源于整式;分式的基本性质来源于分数的基本性质;分式的加减、乘除、乘方运算来源于分数的相应运算;分式方程是分式的运用和应用，但在解决问题时还是要回归整式方程。这样全面、整体的认识，会让我们觉得分式的学习非常自然和简单。可见，学好数学，一要抓住新旧知识的联系，从旧知走向新知;二要学会用数学的思想方法来思考，学会类比、转化等重要的思想方法;三要用整体的视角来进一步构建新的知识体系，从更高视角认识每一个知识板块。只有这样，我们的数学学习才会更加生动有趣。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）