郭紫娇

摘   要：利用旋转的方法解题是初中几何变换问题中的一类典型问题，对综合运用几何知识进行分析的几何直观与空间想象力要求较高. 旋转变换改变了图形的位置，但是不改变图形的形状和大小，问题解决中常利用 “分散与集中”的化归思想，通过旋转变换将一些元素分散或集中，化解难以解决的几何问题.

关键词：旋转变换;模型;思路;方法

1  理解旋转变换中的基本图形

一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度得到图形的变换称为旋转变换.由于旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等，则会存在一类常见的基本图形——等腰三角形.

1.1  旋转变换的基本图形1——等腰三角形

旋转变换必存在以旋转中心为顶角、对应点与旋转中心连线为腰的等腰三角形.

如图1，ΔABD绕着点B，按逆时针方向旋转一定角度得到ΔCBE.

则 BD=BE，AB=CB，连接AC、DE后，ΔABC，ΔDBE是等腰三形.

解题中，可充分利用等腰三角形的性质思考问题.

1.2  旋转变换的基本图形2——特殊的等腰三角形

如图2，图3，ΔABC绕着点A，按逆时针方向旋转一定角度得到ΔA BC，由于旋转前后对应点与旋转中心连线所夹的角等于旋转角，则∠BA B，∠CAC都是旋转角.

①如图2，当旋转角为60°时，隐含两个等边三角形：ΔAB B，ΔAC C，从而可以得到等边三角形的特有性质：三边相等、三个角都是60°;

②如图3，当旋转角为90°时，隐含两个等腰直角三角形：ΔAB B，ΔAC C，从而可以得到等腰直角三角形的特有性质：三边的比例关系、两个锐角都是45°.

2  熟悉旋转变换的常见模型.

2.1  模型一：由等边三角形旋转60°，构造新等边三角形

如图4，已知ΔABC是等边三角形，若要将ΔABC内部的ΔABD旋转到外部，抓住目标图形中的AB=AC，AB=BC两个等量关系，有两种方式：

（1）由AB=AC，公共顶点是点A，方向是从AB到AC，可以将ΔABD绕点 A逆时针方向旋转60°得ΔACF，进而可得等边ΔADF;

（2）由AB=BC，公共顶点是点B，方向是从AB到BC，可以将ΔABD绕点B顺时针方向旋转60°得ΔBCE ，进而可得等边ΔDBE.

反之，对于外部图形ΔACF，ΔBCE 同样道理按反方向也可以旋转到ΔABD.

2.2  模型二：由等腰直角三角形旋转90°，构造新等腰直角三角形.

如图5，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°.

（1）若要旋转ΔABC内部的ΔACE，由AB=AC，公共顶点是点A，方向是从AC到AB，可以将ΔACE 绕点A顺时针方向旋转90°得ΔABD，进而可得等腰直角ΔADE;

（2）反之，若要旋转ΔABC外部的ΔABD，由AB=AC，公共顶点是点A，方向是从AB到AC，可以将ΔABD绕点A逆时针方向旋转90°得ΔACE.

2.3  模型三：由正方形旋转90°，构造等腰直角三角形

如图6，图7，已知四边形ABCD是正方形.

（1）如图6，若要旋转正方形ABCD内部的ΔABP，有两种方式：

①由AB=AD，公共顶点是点A，方向是从AB到AD，可以将ΔABP 绕点A逆时针方向旋转90°得ΔADE;进而可得等腰直角ΔPAE;

②由AB=BC，公共顶点是点B，方向是从AB到BC，可以将ΔABP 绕点B顺时针方向旋转90°得ΔCBF;进而可得等腰直角ΔPBF.

反之，對于外部图形ΔBCF，ΔADE同样道理按反方向也可以旋转到ΔABP .

（2）如图7，若要旋转正方形ABCD外部的ΔDCE，有两种方式：

①由CD=AD，公共顶点是点D，方向是从DC到AD，可以将ΔDCE 绕点D顺时针方向旋转90°得ΔADF;进而可得等腰直角ΔFDE;

②由CD=BC，公共顶点是点C，方向是从DC到BC，可以将ΔDCE 绕点C逆时针方向旋转90°得ΔCBG;进而可得等腰直角ΔGCE.

反之，对于外部图形ΔBCG，ΔADF同样道理按反方向也可以旋转到ΔABP.

2.4  模型四：以圆形的某边中点旋转180°，构造中心对称图形

如图8，已知ΔABC中，点D是BC边上的中点DC=DB，以D为旋转中心可以将ΔACD旋转180°得ΔADB.

3  旋转变换的应用

例1  如图9-1，点O是等边ΔABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，证明：∠AOB=150°.

①分析条件：已知条件知道三边长度，与结论要求角度似乎相差甚远，且条件分散不好用，但三个数据使我们想到勾股数，若能将此三条线段集中到一个三角形就好了，由此联系利用旋转变换;

②观察图形：AB=AC=BC，等边ΔABC三边“等长共点”，具备多种旋转方式，由于∠AOB为所求证，故OA，OB不动，迁移的目标图形为OC，结合等边ΔABC三边“等长共点”，可以旋转ΔBOC或ΔAOC;

③如何旋转：如图9-2，若旋转ΔBOC，由AB=BC，公共顶点是点B，方向是从CB到AB，可以将ΔBOC绕点B逆时针旋转60°得ΔBDA，进而可得等边ΔDBO，OD=OB=4，AD=OC=5，易得ΔADO为直角三角形，问题解决.

方法借鉴：有等边三角形则有相等的线段，为旋转后能重合的线段提供了条件，再加上等边三角形60°的角，为旋转后再次出现等边三角形提供了等量代换的条件，使得题目所有条件迅速贯通，问题轻松解决.如图9-3，本题还可将ΔAOC旋转，进一步体验利用相等线段可以重合来构造旋转解决问题.

变式1：如图10-1，已知在ΔABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD，且点D与点C位于直线AB的两侧，当∠ACB变化，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

①分析条件：已知条件知道两边长度，与结论要求角度似乎相差甚远，且条件分散不好用，若能将BC=a，AC=b，以及要求的DC三条线段集中到一个三角形，进而利用三角形三边的大小关系确定范围，由此联系利用旋转变换;

②观察图形：等边ΔABD三边“等长共点”，具备多种旋转方式，迁移的目标图形为CD，结合等边ΔABC三边“等长共点”，可以旋转ΔBCD或ΔACD;

③如何旋转：如图10-2，若旋转ΔBCD，由AD=BD，公共顶点是点D，方向是从DB到AD，可以将ΔBCD绕点D逆时针旋转60°得ΔEDA，进而可得等边ΔECD，迁移CD=EC，从而建立已知与未知的三边关系.

思路分析：考虑到等边三角形的条件，有相等的线段，可考虑旋转的方法，将ΔBCD绕点D逆时针旋转60°，则点B与点A重合，得ΔBEA，则易得ΔECD为等边三角形，CE=CD.

①当点E，A，C不在一条直线上时，有CD=CE

②如图10-3，当点E，A，C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b.

此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∠ACB=120°.

因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.

例2  如图11，ΔABC是等腰直角三角形，C为直角顶点.点E，F是线段AB上两个动点（不与端点重合），且∠ECF=45°，点E，F的位置发生变化时，探究AE，EF，FB三者的数量关系.

思路分析：

①分析条件：从结论猜想可以将这三条线段集中到一个三角形中，证明其是直角三角形则问题得解;

②观察图形：等腰直角三角形中AC=BC，∠ACB=90°，具备了旋转的条件;

③ 如何旋转：如图12，可将△CBF绕点C顺时针旋转90°得ΔCAM，再连ME，三条线段全部集中到了ΔMAE中，证出∠MAE=90°即可.

方法借鉴：等腰直角三角形中有相等的线段，也是利用旋转来解题的常见背景，本题利用相等线段所在的三角形旋转变换将分散的线段、角集中到了一个三角形中，再运用勾股定理证明. 本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.

例3.如图13所示，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC于点E.

（1）求证：AF=DF+BE;

（2）设DF=x（0≤x≤1），ΔADF与ΔABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时的值及S的最大值;若不存在，请说明理由.

思路分析：

（1）①分析条件：求证AF=DF+BE，要证明两条线段的和等于第三条线段，可以考虑截长补短的方法，使得DF，BE在同一直线;②观察图形：图中正方形有相等的线段，具备旋转条件;③如何旋转：如图14，将目标图形ΔADF绕点A顺时针旋转90°得ΔABF'，再证明AF'= EF'即可（注意要证明E，B，F'三点共线）。（2）求S的最大值即求ΔAEF'面积的最大值，结合几何图形，高AB为定值，实际上就是要求EF'即A F'，也就是AF的最大值，显然，当AF为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.

方法借鉴：正方形各边都相等，也是利用旋转解题的常见情形，通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，抓住正方形中相等的边，把分散的线段所在的三角形进行旋转从而将它们集中到一起，再运用全等三角形、勾股定理等知识解决问题.

例4：如图15，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠ACB=a，在四边形中，DB=DE，∠BDE=2a，M为CE的中点，连接AM，DM.

（1）求证：AM⊥DM;

（2） 当a=_________时，AM=DM.

分析：⑴ M为CE的中点，可以旋转180°，如图16所示，在图中画出ΔDEM关于点M成中心对称的图形;

连接AD，AF，由中心对称可知，ΔDEM≌ΔFCM，

DE=FC=BD，DM=FM，ΔDEM=FCM，

∵ ∠ABD=∠ABC+∠CBD

=a+360°-∠BDE-∠DEM-∠BCE

=360°-a-∠DEM-∠BCE，

∠ACF=360°-∠ACE-∠FCM=360°-a-∠BCE-∠FCM，

∴∠ABD=∠ACF，

∴ΔABD≌ΔACF，∴AD=AF，

∵DM=FM，∴AM⊥DM.

（2） 要使AM=DM，需有∠ADF=∠DAM=∠AFD=45°，∠BDE=2a=90°，a==45°.

方法借鉴：遇线段中点，具备等长共点特征，也是利用旋转解题的常见情形，通过绕中点旋转180°，把已知的AB=AC，BD=ED的等量关系分散到两个三角形的对应边，构造全等，再运用全等三角形解决问题.

总之，利用旋转变换解决问题体现了思维的多向性、渗透了“分散与集中”的化归思想，难度较大，在解决问题时，学生真正困惑的是：什么时候需要旋转变换？什么时候需要构造旋转图形？怎么构造旋转图形？因此，在平常教学中，我们可以先让学生理解旋转变换中的基本图形、熟悉旋转变换的常见模型，引导学生从“条件分析入手确定是否需要旋转、观察图形寻找旋转目标、思考如何旋转（旋转中心、旋转方向、旋转角度）”三个程序去解决问题，从而养成看图、画图、迁移等“程序化”的做题习惯，这样便能进一步体会到旋转变换解决问题是“有章可循”的，对这一类问题不会再束手无策，解题的速度和質量也会逐步提高.