蒋国红

[摘 要]小学数学立体式教学基于“数学理解”背景，是针对传统数学教学只注重工具式理解的一种拓展与创新。小学数学立体式教学可从低到高分五步实施：在动手操作中形成表象理解;在词句辨析中实现语义理解;在多向辨识中形成知觉理解;在纵横联系中达成整体理解;在反思运用中实现创新理解。

[关键词]数学理解;立体式教学;工具性理解;联系性理解;理解层次

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）14-0085-03

随着新课程理念逐步深入人心，教师越来越关注学生的“学”，但由于缺乏对全局的有效把控，在教学中容易出现极少数思维活跃者成为课堂对话的主角、其他学生处于被动听讲状态的现象。研究表明，儿童思维的发展并不单纯依靠知识的累积，更体现在知识形成与运用的过程与方法之中，前者只是感性经验的叠加，后者才是理性认识的凝结。如果学生的数学思维不够活跃，思考时过度依赖他人，不善于洞察数学知识的本质，那他们就不能用所学的知识灵活应对各种具体的问题情境。

其实，早在1976年，英国数学教育家斯根普就提出了数学理解的两种类型：工具性理解与关系性理解。

工具性理解是指把数学理解当作掌握概念、认识定理、助力推理等程序操作的工具，是立足于“知道有这么一回事”的理解。关系性理解是一种整体性理解，它以“知其然，更要知其所以然”为目的。

传统数学教学是一种二维式教学，它遵循工具性理解这一主线，在这样的教学中学生只需要学会针对特定数学对象进行特定的操作即可，这为新理念的提出奠定了基础。北京师范大学教授綦春霞认为，数学理解不仅要求能对数学对象进行熟练地操作，更应体现从表象理解、解释理解到建立联系、进行思想运用的过程。据此，笔者结合小学数学教学实践，把数学理解分为表象理解、语义理解、知觉理解、整体理解与创新理解五个层次，并做出基于数学理解的小学数学“三维五层”结构模型（如图1）。以下结合教学实践进行探讨。

一、动手操作形成表象理解

小学生的认知水平有限，思维方式以形象思维为主，形象思维即是在头脑中建立数学对象的具体形象的思维方式。

比如在“比较分数大小”的教学中，教师让学生分组活动，要求学生先拿出两张相同的正方形纸片，分别给正方形纸片的[14]与[34]的部分涂上颜色，学生很快就知道[14] [<34]。接着教师又让学生比较[25]与[27]的大小，学生通过操作又明白了[25] > [27]。然后教师提问：“你发现了这两组分数的数字的特点吗？你能发现数字的规律吗？能否举例说明你发现的规律呢？”学生在自定数据、自行操作的基础上，最终发现规律：分母相同，分子大的那個分数大;分子相同，分母大的那个分数反而小。

学生得出了规律并不代表他们真正理解了规律，还是有部分学生不知道为什么“分子相同，分母大的那个分数反而小”。因此，动手操作虽有助于学生建立知识表象，但这种操作也只是一种深入学习的方式而已。

二、词句辨析促进语义理解

尽管学生发现的规律是正确的，但他们用的是一种不完全归纳的方法，“语言是思维的外壳”，用语义来促进理解就显得十分重要。

当教师让学生思考“为什么[25] > [27]”时，学生的回答很可能是这样的：“因为同样是取2块，每块的单位不同，一个是[15]，一个是[17]，而[15]是大于[17]的。”此时问题“为什么[25] > [27]”没有得到解决，对此学生的回答可能是这样的：“因为我验证过了，千真万确。”这样的回答没有涉及真实原因，需要教师继续刨根问底，学生才能最终得出答案：“因为分母代表了把整体‘1分成的块数，块数越多，分得的每一块就会越小。正是由于分母不同，分的块数越多，每一块就会越小，所以同样拿出2块，分的块数多时拿出的就少了。”此时语言就达到了促进学生思维的作用。

三、多向辨识形成知觉理解

知觉理解与语义理解的层次不同。以生活中的例子来说明，如果一个新手司机仅靠背诵教练教的法则来开车，那么在遇到突发情况时默念一句操作要领可能就需要五秒钟，这样，交通事故几乎难以避免了，这就是语义理解的局限性。

知觉理解要做的就是在遇到意外时能凭直觉直接采取正确行动，所以说知觉理解是一种不凭借语言的直觉理解，是一种经过长期训练而形成的即刻性的条件反射。正因为如此，帮助学生形成知觉理解是完全必要的。

1.辨析

辨析可以让人确定一类对象是否在某一数学概念或法则所指向的范围内，从而进一步明确概念与法则。比如，出示问题“下列数量关系中属于反比例关系的是（    ）。 A.三角形底边一定时，面积与高的关系 B.三角形面积一定时，底边与底边上的高的关系 C.长方形的长与宽的关系 D. 长方形周长一定时，长与宽的关系”让学生辨析，学生对照反比例关系的定义，理解了构成反比例关系的两个量中必须具有“积一定”这个条件，辨析之后明白这里只有B选项中的两个量符合要求。

2.模仿

爱模仿是小学生的特点，尽管模仿仍是属于工具性理解的范畴，但学生的学习也确实离不开模仿，数学课本中有那么多的例题，正是为了让学生学会模仿。比如，让学生比较[9697]和[9596]的大小，这两个分数既不是同分母分数，也不是同分子分数，而且借助通分比较大小似乎也不那么容易，这时有个学生说出了办法：“把两个分数各加上一个分数可以得到1，分别加上去的分数能比较大小，加上的分数大的，原分数就小。”有了这次经验，下次遇到同类题，学生都会模仿着做了。

3.变式

变式是指通过改变数学对象的非本质属性而突出其本质属性的训练策略。首先，变式训练必须“善变”。比如，有位教师在黑板上画三角形总是习惯把其中一条边画成水平的，然后把另外两边画在它的上边，这固然好看，但无形中给学生造成“画三角形必须有一条边呈水平”的错觉，这就与多用变式的教学初衷相违背了。其次，变式训练要防止学生错误改变。比如，有的学生给钝角三角形画高时，会将三条高都画在三角形内部，这是受了锐角三角形画高方法的影响。最后，变式训练必须在“善变”中求“不变”，以本质属性的“不变”应对非本质属性的“万变”。在指导学生给三角形画高的时候，由于三角形的高从本质上来说就是直线外一点到这条直线的垂直线段，教师可以先让学生复习一下如何从直线外一点向直线画垂直线段，然后为学生播放事先准备的微课，让学生练习通过顶点向对边所在直线作垂直线段就可以了。

四、纵横联系生成整体理解

教育学家布鲁纳认为：“如果一个数学概念或定理成为儿童内在心理表征网络的一部分，那么它就被儿童所理解了。”数学理解对象的联系是一种不断联系与被联系的过程，需要教师在日常教学中教会学生形成这种意识。

1.纵向联系

纵向联系是指同类对象之间的联系。比如，“平行四边形的面积”往前联系着“长方形的面积”，往后又启示着“三角形面积”的探索。再如，“列方程的方法”与“算术方法”都是解应用题的基本方法。

2.横向联系

横向联系是不同范畴的研究对象之间的联系。比如，为了帮助学生理解异分母分数加减时要通分的原因，教师可以让学生联系小数加减法中为何要对齐小数点这一知识点。两种运算法则的表述不同，有什么可比性呢？显然是由于对齐小数点的实质是对齐相同数位，而将异分母分数化作同分母分数也可以出现相同的分数单位，单位相同才能相加就是两类运算的本质联系。

五、反思运用促进创新理解

通过纵横联系，学生可以建构数学理解的网络，实现数学知识的资源共享与协同式理解。这种联系的方向事先往往不确定，联系的形式也多种多样，通过不断探索联系的渠道，能实现学生的创新理解与创造性思维的培养。比如以下探究题：

（1）分别写出算式答案：[12+14]，[12+14+18]，[12+14+18+116]，[12+14+18+116+132];

（2）直接寫出算式答案：[12+14+18+116+132]

[+…+1512]。

如果学生能从第（1）题中发现算式的变化规律，虽然也可以最终写出第（2）题的答案，但是这还不是数学理解，因为他们还不懂答案为什么是这样的。教师可以引导学生：“如果我们从分数的意义入手，用画图的方法来分析呢？”然后画出如图2的示意图，并根据示意图说明思维过程：一样东西拿掉它的一半，剩下的部分也是它的一半，即[1-12=12]。再拿掉剩下部分的[12]，即再拿掉它的[12][×12][=14]，剩下的部分也是它的[12×12=14]。如此，每次都拿掉上一次剩下部分的[12]，结果每次剩下的量与拿走的量相同。由此可知，[12+14+18+116+132][+…+1512=1-1512=511512] 。

这里，教师通过数形结合的方法实现了算术问题与几何操作的有机联系，这说明数学理解已经从既定框架中向外拓展，而且进行了创新。

总之，基于“数学理解”这一理论方向，针对传统小学数学教学方式，着重建构数学理解层次，将使数学理解从二维体系发展成三维模式，有助于促进教学实践，实现数学教学“生本化”，为小学数学教学质量的提高提出了一条可探索的途径。在针对“数学理解”的研究越来越深入的今天，笔者对本文所述的观点抱着既肯定又担心的态度，且还有待进一步探索与提高。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李士锜.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

[2] 马玲玲.试论弗赖登塔尔的数学素养观及对数学课堂教学的启示[J].中国校外教育，2010（22）.

[3] 徐彦辉.数学理解三种方式及其课堂教学特征[J].中国教育学刊，2012（1）.

（责编 杨偲培）