摘要：圆锥曲线是历年高考的必考内容.其中与角度有关的问题，近几年频频出现，牵涉知识较多，包括直线的斜率、相似三角形、解三角形、角平分线、平面向量等内容，综合性强这类问题可以结合等价转化、数形结合等思想，采取一些特殊策略解答.

关键词：角度问题；化归转化；数形结合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0040-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：贺凤梅（1979-），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

1 问题呈现

题目（乌鲁木齐地区2021-2022学年度第一学期重点中学高三联考第21题）已知点A为椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点，点F（1，0）为右焦点，直线l：x=4与x轴的交点为N，且AF=FN，点M为椭圆上异于点A的任意一点，直线AM交l于点P.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）证明：∠MFN=2∠PFN.

2 总体分析

解析几何中的角度问题有些可以转化为斜率来处理，比如角度是与坐标轴的夹角；也可以采用余弦定理解答；还可以利用平面向量解答；如果涉及到2倍角关系，还可以采用角平分线的性质或到角公式来进行求解.

3 试题解答

3.1 第（1）问解析

解析由c+a=4-c且c=1，解得a=2.

所以b2=a2-c2=3.

从而椭圆C的标准方程为x24+y23=1.

3.2 第（2）问解析

视角1借助直线的倾斜角与斜率的关系及正切二倍角公式解答.

解法1由（1）知点A（-2，0）.

设点M（x0，y0），所以kAM=y0x0+2.

直线AM的方程为y=y0x0+2（x+2）.

不妨设点P在第一象限，当x=4时，y=6y0x0+2.

所以点P（4，6y0x0+2）.

结合图1可知，

tan∠PFN=kPF

=6y0x0+24-1

=2y0x0+2.

利用二倍角公式，得

tan（2∠PFN）=2tan∠PFN1-tan2∠PFN

=2·2y0x0+21-（2y0x0+2）2

=4（x0+2）y0（x0+2）2-4y20. ①

又x204+y203=1，②

结合①②，解得tan（2∠PFN）=y0x0-1.

又tan∠MFN=kMF=y0x0-1，

所以tan∠MFN=tan（2∠PFN）.

由条件知∠MFN，∠PFN∈（0，π），

故∠MFN=2∠PFN.

评注此解法属于常规解法，要证两角相等，结合角的范围，只需求两角的正切值相等即可.而由图象可知，两角的正切值又与对应直线的斜率密切相关，于是问题等价转化为：先求相关点，再求出相关直线的斜率，即得两角的正切值，最后借助正切二倍角公式进行运算求解即可.这种解法充分体现了化归与转化和数形结合的数学思想.

视角2借助到角公式解答.

解法2由解法1，知

tan∠MFN=kMF=y0x0-1，

tan∠PFN=kPF=6y0x0+24-1=2y0x0+2.

结合图1，并利用到角公式可得

tan∠MFP=kMF-kPF1+kMF·kPF

=y0x0-1-2y0x0+21+y0x0-1·2y0x0+2.

与②联合，化简，得tan∠MFP=2y0x0+2.

所以tan∠MFP=tan∠PFN.

结合角的取值范围易得∠MFP=∠PFN.

从而∠MFN=2∠PFN.

评注现行教材对到角公式不作要求，感興趣的读者可查阅到角公式，注意公式结构的特征和正切差角公式一致.很多题目用此公式还是切实可行的.建议学有余力的学生掌握，并能灵活运用.

视角3利用角平分线的性质解答.

解法3  由解法1可知P（4，6y0x0+2），kMF=y0x0-1.

所以直线MF：y=y0x0-1（x-1）.

即y0x-（x0-1）y-y0=0.

设点P到∠MFN的两边FM，FN距离分别为d1，d2，

则d2=PN=yP=6y0x0+2.

显然，点P在FM的右侧，

所以d1=4y0-（x0-1）6y0x0+2-y0（x0-1）2+y20.

与②联合，x0<4，化简，得

d1=6y0x0+2.

所以d1=d2，FP为∠MFN的角平分线.

所以∠MFP=∠PFN.

从而∠MFN=2∠PFN.

评注此解法结合图象及待证结论，发现只要证明FP为∠MFN的角平分线即可.而根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等. d2=PN=yP易求，求d1时，结合图象的位置关系及x0的取值范围，需要学生具备一定的观察能力、逻辑推理能力和较高的运算求解能力.

视角4借助向量的数量积解答.

解法4由前面的求解可知F（1，0），M（x0，y0），P（4，6y0x0+2），N（4，0），且

x204+y203=1.

故FM=（x0-1，y0），FP=（3，6y0x0+2），FN=（3，0）.

所以cos∠PFN=FP·FNFP·FN

=39+（6y0x0+2）2，

cos∠MFP=FM·FPFM·FP

=3（x0-1）+6y20x0+2（x0-1）2+y20·9+（6y0x0+2）2，

欲证∠MFP=∠PFN，只需证cos∠MFP=

cos∠PFN，

只需证39+（6y0x0+2）2=3（x0-1）+6y20x0+2（x0-1）2+y20·9+（6y0x0+2）2，

即证（x0-1）2+y20=（x0-1）+2y20x0+2，③

结合②整理可得

左边=（x0-1）2+3-34x20

=14x20-2x0+4

=14（x0-4）2=12（4-x0），

右边=（x0-1）+2y20x0+2

=（x0-1）+6-32x20x0+2

=12（x0+2）（4-x0）x0+2

=4-x02.

所以等式③成立，即∠MFP=∠PFN.

从而∠MFN=2∠PFN.

评注欲证∠MFN=2∠PFN，结合图象，即证∠MFP=∠PFN，设法找到相关点的坐标，得出对应向量坐标，由向量的数量积公式可得cos∠MFP，cos∠PFN，通过以上求解得到cos∠MFP=cos∠PFN，问题也就迎刃而解了.这也是等价转化的思想.

在新课程背景下，课程强调对学生创新精神和实践能力的培养. 在教学过程中，多视角、多策略处理问题可以调动学生的积极性，培养他们的思維能力，提高学习效率. 而圆锥曲线涉及的概念多、性质多，在解答圆锥曲线类试题时经常会有多种解答方法. 因此，在学习这部分知识的过程中，我们要重视一题多解，整合知识，将问题转化为函数、向量、不等式等代数问题来求解.帮助学生完备知识体系，提高学习质量，深挖他们的潜能，培养良好的思维品质.

参考文献：

［1］胡文文.例谈圆锥曲线中角相等问题的解法[J].中学数学教学参考，2017（33）：36-37.

[2] 杨宁.挖掘试题的根源 培养学生创新思维能力——例谈高中数学圆锥曲线一题多解[J].知识文库，2018（09）：130.