双圆斑超级混沌吸引系统的数学模型分析及电路实现

2022-05-27陈军

贵州大学学报(自然科学版) 2022年3期

陈军

(甘肃中医药大学定西校区医学教学部，甘肃定西 743000)

数学家Poincare J.H．于十九世纪初提出Poincare猜想[1]，明确指出了混沌问题，推动着动力学系统与拓扑学两大学科领域的融合发展[2]。自从1963年Lorenz在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子以来，人们不断地发现新的混沌系统[3]：在1976 年Rosslor 构造了三维混沌系统[4]；1999 年CHEN等在混沌系统反控制中发现了被称为Chen 系统[5-6]的一个新混沌吸引子；2002 年吕金虎等进一步通过混沌反控制想法发现了Lǚ系统[7]及引入一个可变参数，进而提出统一混沌系统[8]。它实现了Lorenz系统和Chen系统之间的过渡；2004 年，一类含有平方非线性项的Liu混沌系统[9]也被提出来。2005年，QI等发现了Qi系统[10-12]，这些系统类似但并不拓扑等价。

1984年， Chua发明了著名的蔡氏电路[13]。它首次把电路与混沌两个完全不同的学科相互联姻，强有力地推动了非线性电路理论的加速应用与发展，使人们对混沌理论从认识到深入研究再到工程应用的不同发展深化阶段[14-16]。

混沌现象四十年来倍受众多学科领域学者的关注。它作为非线性动力学系统所特有的混沌现象，广泛地存在于物理学、化学、生物学、地质学等自然界和经济、艺术等社会科学的各领域。混沌同步研究发展迅速，其在图像处理、保密通讯等应用方面取得了巨大的进展[17-18]。二十世纪七十年代，生理学家研究人类心脏、生态学家探索种群增减规律、医学家研究显微镜下观察到的血管缠绕交叉现象、气象学家探究雷电的径迹、天文学家探索星星的簇集效应、经济学家探讨股票价格波动等自然现象和社会现象，发现均存在着混沌非线性现象。混沌控制有很好而广泛的应用远景，它迅速冲进了科学的各个领域，如在电子学、保密通信、流体力学、神经网络、医学、生物系统等领域里形成雪崩式的应用[19-20]。

本研究对一个新的含有3个参数混沌吸引系统模型进行分析、仿真，研究系统的非线性动力学特性，给出系统的周期运动和混沌吸引图像。最后设计实现系统的硬件混沌振荡电路，电路实验结果与动力学特性分析、仿真相同，进一步验证了分析的正确性。研究成果对混沌图像处理技术具有重要的理论意义。

1 双圆斑超混沌吸引系统基本模型及数值仿真研究

1.1 双圆斑超混沌吸引系统基本模型

文中给出的双圆斑超级混沌吸引系统的数学模型是一个三元一次迭代方程组，其动力学方程为

(1)

令k0=1.08，k1=18.75，k2=1。

1.2 数值仿真研究

通过数值计算，利用时域波形图分析系统(1)的非线性动力学行为，3个变量随时间变化的时域图如图1(a)、(b)、(c)所示为x1-t、x2-t和x3-t时域波形的混沌吸引图。从图1可以观察到，在该定值参数下，存在众多周期窗混沌运动状态。该系统在混沌状态与周期运动之间交替循环变动。其对应的x1-x2相平面、x1-x3相平面和x2-x3相平面如图2(a)、(b)、(c)。

(a)x1-t (b)x2-t (c)x3-t图1 系统(1)的时域图Fig.1 Time-domain diagram of the system (1)

(a)在x1-x2平面 (b)在x1-x3平面 (c)在x2-x3平面图2 混沌系统(1)在相平面上的投影图Fig.2 Projection chart of chaotic systems (1) in the phase plane

2 系统的振荡器电路设计与实验验证

在研究文献[21-25]基础上，对本文中所提出的系统(1)进行电路设计,其对应的系统电路方程为

(2)

图3 系统(1)的混沌电路Fig.3 Chaos circuit of the system (1)

这里，电阻值分别取R=1.60 MΩ,R0=Rf2=20.00 MΩ,Rf1=30.00 MΩ,Rf3=1.00 MΩ；电容值分别取为C1=C2=C3=0.625 μF;k0=R/R0=1.08,k1=Rf1/R=18.75,k2=R/Rf2=0.08,k3=R/R=1。二极管D为1N4148型。

实验中利用Tektronix的MSO2000数字示波器的NSB功能将观察到的波形存储转移。其时域实验图如图4所示，分别为3个电压V1、V2、V3随时间变化的波形图。相应地，V1-V2的电压平面图(对应x1-x2变量)、V1-V3的电压平面图(对应x1-x3变量)、V2-V3的电压平面图(对应x2-x3变量)如图5所示。从图可以看出，电路的实验结果与数值仿真结果基本相符。电路设计实现证明了本研究分析的正确性。