侯克鹏，邵 琳，李岳峰*，乔 木，王团辉

(1.昆明理工大学 国土资源工程学院，云南 昆明 650093; 2.云南省中-德蓝色矿山与特殊地下空间开发利用重点实验室，云南 昆明 650093)

岩爆是开挖时岩石破坏造成的失稳并伴随着能量的猛烈释放的一种动力现象，主要发生在高地应力，高埋深，高地温等地质条件复杂的地区，爆发时常伴随着岩石的松动、剥落、弹射甚至抛出[1],往往会造成人员伤亡和经济损失。通过预测进行预防是目前最佳防护手段。岩爆机理复杂，难以预测，研究人员引入大量的数学模型对其进行预测研究[2-8]，取得了较好的效果。层次分析法[9-17]与物元可拓模型[18-21]在岩爆预测领域应用广泛。

徐琛[9]、卢富然[10]、石晓燕和董源[11-13]等采用1～9标度层次分析法与熵权法相结合确定权重建立岩爆预测模型并应用于不同的工程中；殷欣等[14]采用1～9标度层次分析法与反熵权法相结合确定权重建立属性区间识别岩爆预测模型，取得了良好的效果；刘晓悦等[15]采用标度构造层次分析法与基于指标相关性的指标权重法(criteria importance through intercriteria correlation，CRITIC)相结合确定指标权重，将权重用于多维云模型中构造岩爆预测模型并应用于工程中；刘磊磊等[16]采用均衡函数优化1～9标度层次分析法获得权重，结合靶心贴近度方法用于工程中岩爆预测；李亚阁等[17]采用1～9标度层次分析法与模糊综合评价法结合建立岩爆预测模型，总结了一种有效的岩爆预测模型。层次分析法主要用于预测指标权重的确定，现有研究在层次分析法的应用上多选用1～9标度法构建比较矩阵[9-17]，在应用过程中需要进行较大的矩阵运算，岩爆的发生是一个复杂的过程，需要综合考虑用于预测的各种因素，得到的预测结果才会更可靠，在应用中如果将预测指标数量扩大化，势必会造成模型的不实用性，选用3标度法构建比较矩阵可以减少权重计算量，很好地弥补了指标数量多造成的计算量大的问题。此外，相对于1～9标度法，3标度法的使用减少了评价过程中的主观性、模糊性。

自熊孝波等[18]首次将物元可拓模型应用于岩爆的预测中来，国内外学者后续对岩爆的物元可拓模型做了相关研究：CHEN等[19]应用变权物元可拓模型对国内外经典岩爆案例进行预测，并与云模型、集对理论模型和功效系数法对比，预测效果更佳；尹彬等[20]采用非对称贴近度替换物元可拓模型评价中的最大隶属度原则，将物元可拓模型应用于西藏甲玛铜矿取得了良好效果；郭生茂等[21]采用熵权法确定物元可拓模型所用权重，将物元可拓模型应用于指导厂坝铅锌矿的岩爆防治。现有的岩爆物元可拓模型多是针对其建模过程中所需权重进行分析与改进，但物元可拓模型本身存在特征值超出节域时关联函数失效的问题[3],现有研究中少有人对其改进。本文采用无量纲化方法对其改进，改进原理在于无量纲化方法可以将物元可拓模型所需元素归一化到固定区间，通过对建模所需元素的范围确定，从而确保特征值不会超出节域，保证物元可拓模型的普遍可用性。

综述所述，本文选用无量纲化方法改进物元可拓模型，采用3标度法确定物元可拓模型所需的指标权重，建立了改进层次分析-物元可拓的岩爆预测模型，该模型简化了用于传统权重确定的计算量，且采用无量纲化方法对传统物元可拓模型本身存在特征值超出节域时关联函数失效的问题进行了改进。将建好的模型对白鹤滩水电站地下隧洞的岩爆进行预测，获取一种地下工程中岩爆灾害的预测问题的新方法。

1 原理

1.1 层次分析法

层次分析法[22](analytic hierarchy process，AHP)是一种多指标权重确定的方法，确定指标权重分四步走：构建递阶层次结构、建立判断矩阵、对判断矩阵进行一致性检验和指标权重确定。

首先，确定递阶层次结构。按照参考文献[10]中，选择三层的递阶层次结构，其示意图如图1所示。

图1 AHP递阶层次结构示意图Fig.1 Hierarchical structure of AHP

其次，建立判断矩阵。本文中对应为目标层A与准则层B之间判断矩阵描述为表1。

表1 判断矩阵描述Tab.1 Description of judgment matrix

其中，Bi j表示准则与准则相对于目标的重要性比例标度，最终形成的判断矩阵R为式(1)：

(1)

其中，Bi j的取值由专家打分完成，本文选用3标度理论构造判断矩阵，比例标度详见表2。

表2 3标度法相对重要性的比例标度Tab.2 3 Proportional scale of relative importance

再次，对判断矩阵进行一致性检验。为了确保指标权重的合理性，需要对判断矩阵R进行一致性检验[23]。CI作为度量判断矩阵偏离一致性的指标，公式见式(2)：

(2)

其中，λmax与为最大特征根，m为判断矩阵R的阶数。

为度量不同阶数的判断矩阵是否具有满意的一致性，引入随机一致性比率[23]CR，CR是CI和RI之比，RI是同阶平均随机一致性指标。式(3)是CR计算方式。RI值见表3。

(3)

表3 1—10阶判断矩阵的RI值Tab.3 RI values of order 1—10 judgment matrices

当CR<0.1时，认为判断矩阵具有满意的一致性；当CR>0.1，需调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。

当判断矩阵通过了一致性检验，即证明了层次分析法使用的合理性。

最后，指标权重确定。本文采用几何平均法求取指标权重，过程分为三步：

(1)将判别矩阵R按照行相乘得到一个新的列向量；

(2)将新的列向量的每个分量开n次方；

(3)对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

计算过程见式(4)：

(4)

1.2 物元可拓模型

物元可拓模型[24]是一种全局性最佳决策目标的综合评价模型，主要步骤如下：

(1)确定岩爆危险等级评价指标体系

(2)确定经典域R0

假设岩爆危险等级分为z个等级，评价指标有n个，则经典域物元可描述为式(5)：

(5)

式中，N0j(j=1，2，，z)表示岩爆危险等级；Ek(j=1，2，，n)表示评价指标；V0jk表示第j个等级中，第k个指标无量纲化处理后的量值域；a0k和b0k表示量值域的下限值和上限值。

(3)确定节域Rp

取各指标在z个岩爆等级中所对应取值范围中的最小值和最大值，构成节域物元，整理于式(6)：

(6)

式中，Np为全体岩爆危险等级；Vpk为评价指标Ek在全体岩爆等级所对应的量值域；apk和bpk量值域的最小值和最大值。

(4)确定待评岩爆物元Rm

假设待评价的岩爆有m个，那么第i条待评岩爆物元为式(7)：

(7)

式中，Ri为n为岩爆物元；Ni(i=1，2，…，m)为第i个待评岩爆；Vik为Ek的实际测量值。

(5)无量纲化

对传统的物元可拓模型而言，确定完经典域、节域、待评岩爆物元后即可进行建模评测，但这样的模型一般应用于待评物元特征值在节域范围内的指标，一旦评物元特征值超出节域时，会造成关联函数失效，进而导致无法做出预测。针对这一问题，本文参考前人研究成果，对经典域、节域、待评岩爆物元做无量纲化处理，见公式(8)与(9)：

正向指标，数值越大越危险的指标；

(8)

负向指标，数值越小越危险的指标；

(9)

式中，x为待评物元特征值大小；xmin和xmax分别表示最小值和最大值apk和bpk。

(6)计算岩爆烈度等级评价指标的关联度

第i个岩爆第k个指标关于岩爆烈度等级j的关联函数为式(10)、(11)和(12)：

(10)

(11)

(12)

2 工程实例分析

为验证改进层次分析-物元可拓模型的有效性，采用白鹤滩水电站[13]地下隧洞进行工程实例预测，白鹤滩水电站位于云南省巧家县和四川省宁南县交界的金沙江干流上，是全球在建规模最大的巨型水电工程。工程共收集到从岩性条件、应力条件和围岩条件三个方面划分的强度脆性系数R、变形脆性系数Ku、弹性能量指数Wet、线弹性能We、能量储耗指数K、Turchaninov准则因数T、应力指数S、岩爆强度系数W、岩体质量指标RQD、岩体完整性系数Kv等10个指标数据，分别将这10个指标记为r1至r10，详见表4。

表4 白鹤滩水电站地下隧洞指标实测数据Tab.4 Measured data of underground tunnel indicators of Baihetan Hydropower Station

2.1 指标选取与分级标准

由于岩爆发生机理的复杂性，不同学者采用的分级指标各不相同[25-27]，本文从岩性条件、应力条件和围岩条件三个方面划分白鹤滩水电站工程中收集到的10个岩爆倾向性评价指标，通过层次分析法确定各指标权重，将权重应用于改进物元可拓模型进行预测。分级标准参考文献[28]，Ⅰ级至 Ⅳ级分别对应的岩爆倾向性为无、弱、中、强，详见表5。

2.2 层次分析法确定权重

(1)构建递阶层次结构

以岩爆的预测为目标层，岩性条件、应力条件和围岩条件为准则层，准则层下属的10个指标作为指标层构建递阶层次结构，层次结构详见图2。

表5 岩爆烈度分级标准Tab.5 The classification standard of rockburst intensity

(2)建立判断矩阵

根据参考文献[28]3标度指标重要程度建立比较矩阵B，详见表6。

图2 评价指标层次结构图Fig.2 Hierarchical structure of evaluation indicators

表6 比较矩阵BTab.6 Comparison matrix B

通过对B的运算，得到判断矩阵R，详见表7。

表7 3标度层次分析法判断矩阵RTab.7 3 Scale analytic hierarchy process judgment matrix R

(3)一致性检验与权重计算结果

经计算CR=0，认为判断矩阵具有满意的一致性，判断矩阵R呈现最佳效果。最终得到的权重向量(r1,…,r10)=(0.064 0,0.052 4,0.142 5,0.042 9,0.212 6,0.116 7,0.095 5,0.095 5,0.035 1,0.142 5)。

2.3 物元可拓模型预测

根据岩爆烈度分级标准(表5)，确定经典域R0和节域Rp分别为：

依据式(9)和(10)对表5中工程实测数据进行无量纲化处理，最终计算工程数据的岩爆烈度等级关联度，计算得到Ⅰ级关联度为-0.253 5，Ⅱ级关联度为0.153 1，Ⅲ级关联度为-0.221 6，Ⅳ级关联度为-0.521 2，详见表8。

表8 模型预测结果对比Tab.8 Comparison of model prediction results

由表8可知，本文模型预测的四个等级关联度中，Ⅱ级的关联度最大(0.153 1)，根据最大关联度识别准则，本文预测的白鹤滩水电站样本岩爆情况为Ⅱ级，即弱岩爆。

经对比[13]，该结果与实际情况完全一致。可以说明该模型预测准确，是一种工程应用价值较大模型，可以作为现场经验判断的一种补充。

3 结论

1)从岩性条件、应力条件和围岩条件三个方面划分白鹤滩水电站工程中收集到的10个岩爆倾向性评价指标，采用3标度理论构建改进的层次分析法，确定各预测指标的权重向量(R,…,Kv)=(0.064 0,0.052 4,0.142 5,0.042 9,0.212 6,0.116 7,0.095 5,0.095 5,0.035 1,0.142 5)。

2)对物元可拓模型的经典域、节域、待评岩爆物元进行无量纲化处理，将节域中的值控制在0～1之间，从而改进物元可拓模型，结合基于3标度理论的层次分析法，建立改进的层次分析-物元可拓模型，计算白鹤滩水电站工程实例的岩爆烈度等级关联度，计算得到Ⅰ级关联度为-0.253 5，Ⅱ级关联度为0.153 1，Ⅲ级关联度为-0.221 6，Ⅳ级关联度为-0.521 2。

3)采用最大关联度识别准则预测工程实例岩爆烈度，预测样本岩爆情况为Ⅱ级，即弱岩爆，与实际等级一致，是一种具有实践参考价值的岩爆烈度分级模型。