蔡旖旎，刘 萍，李 艳

(云南大学 数学与统计学院，云南 昆明 650500)

我们知道，在生态系统中，对生命短、世代不重叠的种群，或者即使生命长、世代重叠的种群，其数量较少时，通常用差分方程（离散系统）来刻画更为合理.

2019 年，苏倩倩[1]提出了如下的一类离散Leslie-Gower 三维食物链系统

其中，a0,b0,v0,d0,a1,v1,d1,v2,d2,c3,v3,d3均为有正的上下界的序列，运用差分不等式有关结论，得到了种群x1,x3持久，x2灭绝的条件，通过构造Lyapunov 函数，得到系统(1)全局吸引的充分性条件.而在现实环境中，反馈控制变量是不可忽略的影响因素，文献[2]研究了如下具反馈控制和Holling-Ⅲ类功能反应的离散时滞系统

其中，xi(n)(i=1,2) 为种群xi第n代的种群密度，捕食者x2具有Holling-Ⅲ类功能反应，b1(n) 为种群x1的出生率，b2(n) 为种群x2的死亡率，a1(n) 为密度制约系数，αi(n)(i=1,2) 为转换率，m为半饱和度，0 ＜≤＜1(i=1,2),a1(n),bi(n),αi(n),ei(n),ηi(n),di(n)(i=1,2) 为有正的上下界的非负序列，通过运用差分不等式的相关结论和计算技巧，得到了系统(2)持久生存的充分条件.学者们对具有Holling-Ⅲ类功能反应的种群模型进行广泛研究，文献[3]研究了一类具有Holling-Ⅲ类功能反应函数的捕食−食饵反应扩散系统，讨论了系统发自唯一半平凡解处的分歧解的局部和全局存在性.文献[4]研究时标上具有捕获率和投放率的Holling-Ⅲ类功能反应的捕食系统，考虑了时滞效应，得到了系统至少有一个正周期解的结论.更多研究可参考文献[5-6]及相关参考文献.

近年来，诸多学者研究了具有毒素影响的生态系统，发现毒素对系统的动力学行为有影响，如文献[7]中研究了具毒素影响和非线性相互抑制项的离散竞争系统

得到了一个种群灭绝而另一个种群全局吸引的充分条件.

基于以上研究基础，考虑到现实生态环境中毒素的影响以及种群间的竞争和捕食关系，作为系统(2)的推广，本文研究毒素作用下具反馈控制和非线性抑制项影响的3 种群捕食−竞争离散系统

其中，xi(n)(i=1,2,3) 为种群xi(n)(i=1,2,3) 第n代的种群密度，x1,x2为食饵种群，x1,x2有竞争关系，x3为捕食者种群，种群x1,x2与x3是捕食关系，且具有Holling-Ⅲ功能反应，r1(n),r2(n) 为种群x1,x2的出生率，r3(n) 为种群x3的死亡率，a1(n),a2(n) 为种群内的密度制约系数，b1(n),b2(n) 为种间竞争系数，为非线性抑制项，c1(n),c2(n),c3(n),c4(n) 为转换率，r(n) 为毒素影响系数，为种群x2释放毒素对第一个种群的影响，k>0 为正数，m1,m2为半饱和度且m1>0,m2>0，时滞τ1,τ2,δ1,δ2,δ3,ξ3,ξ4,η1,η2,η3均为正数，ui(i=1,2,3) 为反馈控制变量，fi(n),gi(n) 为控制变量系数，可通过其变化调节对系统控制的强弱.文中总假设r1(n),r2(n),r3(n),r(n),a1(n),a2(n),b1(n),b2(n),c1(n),c2(n),c3(n),di(n),ei(n),fi(n),gi(n) 均为具有正的上下界的非负序列且系统(3)具有如下初始条件

其中 τ=max{τ1,τ2,δ1,δ2,δ3,ξ3,ξ4,η1,η2,η3}.

对于任意有界序列 {h(n)}，记

n∈N+xi(n)>0,ui(n)>0,i=1,2,3.

容易知道，系统(3)满足初始条件(4)的解在 时都有

1 预备知识

引理 1[8]假设序列 {x(n)} 满足x(n)>0，a(n) 和b(n) 均是有正的上下界的非负序列，若x(n+1)≤x(n)exp{a(n)−b(n)x(n)}，n∈N，则

引理 3[10]假如A>0,y(0)>0 且y(n+1)≤Ay(n)+B(n),n=1,2,···,则

若A＜1,B(n) 有上界M，则

引理 5[12]假设A>0,y(0)>0,且y(n+1)≥Ay(n)+B(n),n=1,2,···,则

若A＜1,B(n) 有上界P，则

2 持久性分析

引理 6假设系统(3)满足条件

则存在正数Li,Ni(i=1,2,3),使得

证明 假设 (x1(n),x2(n),x3(n),u1(n),u2(n),u3(n))T为系统(3)的任意正解，由系统(3)的第一个方程得

因此

即

由式(5)，(6)得

由引理1 得

类似地，由系统(3)的第2 个方程得

由系统(3)的第3 个方程及均值不等式得

令z(n)=lnx3(n),则

其中

由引理2 得

进而

则

对于充分小的正数 ε，存在K1>0,K1∈N,当n>K1时，有

由系统(3)第4 个方程和式(10)得

令 ε →0,由引理3 得

证毕.

定理 1若系统(3)满足条件

则系统(3)是持久的，即存在正数li,hi,Ni,Li(i=1,2,3),使得

其中，Li,Ni如引理6 中所示，li,hi在下面证明中给出定义.

证明由 (H3) 可以得到 (H1) 成立，故在 (H3) 成立时引理6 的结论成立.由引理6 知对 ε>0,存在K2>K1,K2∈N,对于任意的n>K2+τ，都有

由系统(3)的第一个方程和(11)式得

由(12)，(13)式得

令 ε →0,由引理4 得

类似地，由系统(3)的第2 个方程得

故对任意 ε>0,存在K3>K2,K3∈N,当n>K3+τ,有

由系统(3)的第3 个方程得

令 ε →0 有

代入(15)式，得

记

则

由引理4 得

由（17）式，对于任意 ε>0,存在K4>K3,K4∈N,当n>K4时，有

由系统(3)的第4 个方程得

令 ε →0 得

由引理5 得

证毕.

3 实例

下面举例说明我们理论结果的可行性.

例 1考虑如下系统

对系统(18)，假设

经过计算，得

满足定理1 条件，因而种群x1,x2,x3持久生存.

4 结论

本文提出一类毒素影响下具有时滞、反馈控制和非线性抑制项的离散三种群混合系统，据作者所知，至今尚未有学者研究此类系统，系统是新的.运用差分方程比较原理和相关不等式计算技巧，研究了该系统持久性生存的充分条件，结果显示：当种群x1和种群x2的出生率的下确界足够大时，种群x1和x2可持久生存；当种群x3的死亡率的上确界足够小时，种群x3可持久生存.本文研究结果推广了文献[2]的相关研究结果.本文研究结果表明，时滞、反馈控制和毒素均会影响目标系统的持久性.