熊渊

北京航空航天大学 流体力学教育部重点实验室，北京 100191

0 引 言

折射率 （n） 是透明介质的基本物理属性之一，定义为 n =c/v ， 即真空光速 c与光在指定介质中传播速度 v的比值。气体的折射率非常接近于1，与密度的关系可以由格拉德斯通-戴尔（Gladstone-Dale）公式（ n=1−Gρ， ρ 为气体密度， G为格拉德斯通－戴尔常数）表征。 由理想气体状态方程可知， ρ是温度和压力的函数，而 G是光线波长和气体组分的函数。在给定光线波长条件下，气体温度、组分、压力的变化均会改变其折射率。 因此气体流场自身的折射率分布往往极不均匀，且随时间变化快速。根据折射定律，当光线在非均匀气体折射率环境中传播时会发生偏折现象。以图1所示的非均匀折射气体环境为例，光线从A点传播到B点所途径的路径如黑色实线所示。

图1 非均匀折射率环境下光线的传播路径示意图：图中x和x' 分别对应其到达背景屏的位置、J in 和J out分别对应入射和出射的光线方向矢量Fig.1 Schematic of light ray propagation within a non-uniform refractive index gas environment: x and x' corresponds to the location the rays arrive, J in and J out are the direction vector related to the incident and emergent light rays

根据费马定律，对光传播路径的光程取极值，数学表示为：

式中：δ为变分符号；s为光线传播的轨迹。

定义拉格朗日算子并利用欧拉-拉格朗日方程，易得用矢量形式表达的非均匀介质中光线传播方程为：

式中：加粗符号表示矢量，r为光程上任一点的矢量坐标。该方程通常重新分解为如下的一阶方程组系统：

式中： J为当地的光线方向矢量，气体环境下通常将J设置为单位矢量。光线的偏折角定义为：

式中：ε为光线偏折角。上述控制方程是纹影类方法的数学基础。……