文/刘波

平面几何作为初中数学的重要组成部分，历来是培养学生数学思维和基本素养的重点。平面几何问题往往解法众多，也是激发学生探究能力的主战场，自然也是中考的压轴题型之一。但在学生学习、测试到中考的反馈中，我发现学生对于几何综合题仍存敬畏之心，不能在解题上做到游刃有余，导致失分。经过询问，我发现学生反映的主要问题是：找不到切入点，看不出联系点。每次听完老师的讲解，学生似乎都能理解，也记录了一堆的模型和方法，再做相同类型题的时候仍然一脸茫然。究其原因，我认为是学生更多地纠结在掌握了多少种方法上，意图通过看出题目中的图形所属的模型或方法进而解决问题，这与新课程标准强调提高学生对数学的理解和认识之间存在一些偏差。

在几何学习中，新课程标准更多地提倡通过变换角度去认识几何图形、解决几何问题。所以在几何综合题中，要引导学生从平移、旋转、轴对称3种全等变换的角度去思考问题，逐步积累解题经验，增加学生对几何题型的理解认识，实现从“术”到“道”的提升，真正提升数学素养。下面结合2020年北京市朝阳区一模的几何综合题来说明一下这类问题的解题策略（本文主要讨论解题思路，不作详解过程）。

27.四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°）,得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F,连接BE。

（1）依题意补全图1；

（2）直接写出∠FBE的度数；

（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明。（图1）

图1

在认真作了图之后（图2），其实不难解决第（1）问和第（2）问，容易得出∠FBE=45°。下面我们就直奔主题，看如何寻找切入点和联系点。

图2

寻找切入点：

1.标注已知量和未知量。将题目条件中的相等线段（AB=BC=CD=AD）和解决第（2）问得到的相等线段（BF=EF）用短线标出，将需要证明的线段（AF，DE）用“？”标出（图3）。

图3

2.确定目标三角形。

观察标注后的图形，涵盖已知量和未知量的三角形即为目标三角形，如△ABF，△ADF，△CDE。

观察联系点——构造全等三角形。

从相等的量出发，借助变换的思想，进而可以构造出全等三角形。以△ABF为目标三角形为例。从AB=AD考虑可以发现AB逆时针旋转90°与AD重合，所以我们可以作AM⊥AF交DF于M，进而构造出△ADM≌△ABF（图4）。

图4

为了便于求角，由∠BFE=90°可知，点F与正方形的顶点A、B、C、D5点共圆，从而可以得到∠AFD=45°，所以，△AFM是等腰直角三角形，进而得到FM=AF。（图5）

图5

由△ADM≌△ABF可知DM=EF，所以，DE=AF。问题得解。

在观察联系点的时候，会发现AB=CD，AB与CD的重合显然可以通过平移实现，这时自然就出现了第二种方法。

在第（2）问求角时，可以得到∠ABF=α，5点共圆得到∠AFD=45°，所以∠DNC=∠AFB=135°。当平移构造△DCN≌△ABF后，∠DCN=∠ABF=α，CD=CE，CN=CN， 所以，△DCN≌△ENC，之后就可以证明△DEN是等腰直角三角形。所以，DE=DN=AF，问题得解（图6）。

图6

如果以△ADF为目标三角形，则可以观察到AD顺时针旋转90°与AB重合，所以，可以作AS⊥AF交BF的延长线于点S。由5点共圆得到∠AFD=45°，可以得到∠AFB=135°，进而∠AFS=45°，所以，△ASF是等腰直角三角形。继而可以得到△ABS≌△ADF，BS=DF，又BF=FE，所以DE=SF=AF。问题得解（图7）。如果我们以△CDE为目标三角形，则可以通过平移构造△ABT≌△CDE（图8），证明思路则和图5类似，不再赘述。

图7

图8

当然，本题还可以通过构造相似三角形证明。

在北京中考中，几何综合题仍然以全等证明为主，文中主要引导学生从变换的角度认识几何图形的关系，从切入点和联系点入手，也就是“标条件”“找目标”“想变换”，进而快速地构造全等三角形。要明确在分析题目条件时对于关键词的挖掘会对解决问题产生积极的推动作用，如线段中点产生的中心对称图形（旋转），角平分线产生的轴对称图形（轴对称）等等。

把几何变换作为解决几何问题的指导思想，从繁多模型的机械记忆中跳出来，当这“三板斧”熟练掌握后，相信几何压轴题不再是我们的“痛”，而是我们的“乐”。