江如春，徐俊，于洪亮

（江苏省江都水利工程管理处，江苏 扬州 225200）

0 引言

灌溉区运行泵站所需的能量可能很大，节约能源成本的最大潜在领域之一在于抽水作业的调度。新建泵站耗资巨大且能源成本的不断增加，使泵站的优化设计和运行越来越受到研究者重视。吴远为等使用改进的粒子群算法来优化泵调度系统，以期达到将24 h内的泵送成本降至最低；江磊等在稳态流中寻找泵站和输水系统的优化设计；冯晓莉和方国华等人使用遗传算法优化灌溉泵站。

从数学上讲，泵站的优化设计和运行是一个大规模的非线性规划问题，因为该问题在决策变量的数量和约束条件的非线性方面的规模很大。灌溉泵送系统设计和运行问题的目标是在满足系统约束的同时，使建设和运行的年折旧成本最小化，以考虑水力学行为，决策变量的边界约束，以及其他可能反映操作员偏好或系统限制的约束。

文章提出了一种用于灌溉抽水系统优化设计和运行的新管理模式。该模型引用粒子群优化算法，开发了一个两步优化模型，随后用粒子群优化方法求解。该模型首先对能够在所需时间段内满足给定需求的所有可行泵组合进行详尽的枚举搜索，然后调用粒子群优化算法来搜索每个集合的最佳操作。在解决了所有可行机组的运行问题后，对所有机组和最优机组计算运行总成本和初始投资折旧，并确定相应的运行策略。将所提出的模型应用于实际灌溉抽水系统的设计和运行，并给出了结果并与遗传算法的结果进行了比较。结果表明，该模型与粒子群优化算法相结合，是一种通用的灌溉抽水系统设计与运行管理模型真实世界的灌溉泵送系统。

1 粒子群优化算法

在粒子群算法中，每一个粒子个体都根据自己和同事的历史经验在一个D维空间中飞行，并且粒子随机运动，都在问题空间中追踪自己的坐标。PSO还跟踪所有粒子的最佳解决方案（gbest），以及目前为止每个粒子实现的最佳解决方案（pbest）。在训练迭代结束时，粒子群算法改变每个粒子的速度，使其趋近于pbest和当前的pbest值。

之后，有专家学者根据粒子群优化算法的背景和鸟群的模拟，提出了粒子群优化算法的概念。假设搜索空间是D维的，则群的第i个粒子可以用一个D维向量表示，Xi=（xi1，xi2，...xiD）T。这个粒子的速度（位置变化）可以用另一个D维向量来表示，Vi=（vi1，vi2，...viD）T，用以修改其最佳解决方案的位置（pbest）及其坐标。这些信息类似于每个粒子的经历。此外，每个代理都知道到目前为止在pbest中的最佳值（gbest）。这些信息类似于他们周围的其他粒子如何执行的知识。即每个粒子都试图使用以下信息修改其位置：当下位置Xi；目前速度Vi；当前位置和pbest之间的距离；当前位置和gbest之间的距离。

这种修改可以用速度的概念来表示。每个粒子的速度可以通过以下等式进行修改：

上式中，vni,d为粒子i在维度d处的速度；n为迭代次数；w为惯性权重；c1、c2为两个正常数，分别称为认知参数和社会参数；r1、r2是随机数，其值均匀分布在0和1之间；sni,d为粒子i在d维度处的当前位置，迭代次数为n；pbestni,d为在d维度，迭代n时，粒子i的pbest；gbestni,d为d维度群组迭代n次的gbest；i=1，2，...，N，N是群组的大小；d=1，2，...，D，D是维数；n=1，2，...，iTermax；iTermax是迭代次数最大值。

当前位置（解空间中的搜索点）可以通过下式进行修改：

式（1）和（2）定义了PSO算法的初始版本。由于粒子的速度没有被有效控制，所以必须施加一个最大值，将其定义为vmax。如果速度超过vmax，则令它等于vmax。这个参数被实践证明是至关重要的，因为过大的值会导致粒子越过好的解，而小的值则会导致搜索空间不足。

方程（1）中惯性权重w的作用被认为是PSO收敛行为的关键。惯性权重用于控制先前历史速度对当前速度的影响。相应地，该参数调节了群体的全局和局部探测能力之间的权衡。大惯性权重有利于全局搜索（搜索新区域），小惯性权重有利于局部搜索，即微调当前搜索区域。惯性权重的适当值通常提供全局和局部探索能力之间的平衡，从而减少定位最优解所需的迭代次数。最初，惯性重量是恒定的。然而，实验结果表明，最好先将惯性权重设置为一个较大的值，以促进对搜索空间的全局探索，并逐渐减小惯性权重以得到更精细的解。因此，通过专家学者的不懈努力，在各代惯性权重线性变化的情况下，对粒子群优化算法的性能进行了显著改进，惯性权重从搜索开始时的wmax到搜索结束时的wmin呈线性变化。因此，在等式（1）中通常使用以下加权函数。

其中wmax为初始权重；wmin为最终重量；iTermax为最大迭代次数；n为当前迭代次数。

式（1）中的参数c1和c2对PSO的收敛性不是关键性因素。然而，适当的微调可能会导致更快的收敛并减缓局部极小值。作为默认值，c1=c2=2，但实验结果表明c1=c2=0.5可能会得到更好的结果。最近的研究表明，选择一个较大的认知参数c1可能比选择一个社会参数c2更好，但应保证c1+c2≤4。参数r1和r2用于维持种群的多样性，并且它们均匀分布在（0，1）范围内。

2 模型优化

为了实现优化过程，可以使用一种适当的方法，根据增量时间流量持续时间曲线来使每个泵组的消耗能量最小化。消耗的能量Ek可表示为以下形式

其中，Ek为第k台泵机年耗能总量；Qi,j为泵i在时间步长j处的流量；Hi,j为时间步长j时泵i的泵扬程；Eij为时间步长为j时泵i的效率；Δtj为需求-持续时间曲线上的时间步长；IQj为时间步j的总需求；ρ为水的密度；g为重力加速度；i，j，k：表示第k个泵组号的需求量-流量曲线第j部分中第i个泵的下标。并非泵效率是泵流量和泵扬程的函数，而是泵扬程与第j时间步的总排量有关。目标函数式（4）的约束条件为：

净泵送高度Hi,j（IQj）还与总泵送扬程Hi,j相关，公式如下：

式中Li=泵的输送管长度；f=摩擦系数；Di=泵的输送管径；HSi,j=持续时间步长j时泵i的静压头；hfi,j=泵i持续时间步长j时的摩擦水头损失。

下一步是计算生成机组的年度总成本（ATC）。目标函数可写为：

式中CRF为资本回收系数，定义为：

CE、分别为第i台泵的单位能源成本和成本；CRF=资本回收率；Ci=建设期后泵i的等效成本；CT=施工时间长度；r=利率。

为了进一步简化计算过程，假设泵效率曲线是流量的函数，如下所示：

其中，ai，bi，ci为通过拟合过程从第i个泵的性能曲线中找到的系数。

3 模型应用

为做案例研究，文章考虑使用江苏省南水北调项目某农业主泵站。图1显示了需求持续时间曲线及其离散化方案，由主泵站泵送。与试验泵站的现有设计一样，考虑采用一个流量持续时间曲线问题，其中12个分区代表一年中的每个月，每个泵组中有4种不同类型，最多10个单元泵。

图1 试验泵站农工项目需求柱状图

从4种不同的泵类型中选择最佳的泵组。从给定泵的效率相对流量曲线中选择的点列在表1中，并在设计实例和优化设计中使用。

表1 指定泵类型的效率-流量关系表

需要注意的是，在优化模型中，“相对流量”是每台泵的流量与最大允许流量之比，qi=Qi/Qmaxi被选为决策变量以简化计算。此外，令r=0.06每年，CT=3年，TP=20年，以便在优化模型的结果与工程设计的结果之间进行公平的比较。

在实际情况中，为了避免公式（4）计算中被零除的问题，效率-相对流量曲线考虑了两种不同的曲线，以防止报告不可行和不正确的流量结果。因此，通过在程序中应用两条曲线，即主曲线ei=aiqi2+biqi+ci和附加曲线，在不损失最终最优结果的情况下，在计算过程中消除了程序向不可行结果的转移。表2显示了10个第一优化组的泵数量和年总成本，而最佳泵组的典型排放量如表3所示。

表2 10台第一最佳机组的泵数量和年总成本表

表3 最佳泵组的典型输出流量表

在分析由两个1型泵组成的系统所消耗能量后发现，尽管该变化似乎具有单峰性质，但实际目标函数可能表现出多峰特征，因为它是一些具有不同最佳点的近似单峰函数的叠加。

4 结论

文章将一种新的进化算法即粒子群优化算法应用于灌溉水泵系统的设计与运行问题。从数学上讲，泵站的优化设计和运行是一个大规模的非线性规划问题，因为问题的规模取决于决策变量和约束的个数和非线性。文章所提出的优化模型是一个两步模型。该模型首先使用一个枚举方案来寻找能够提供给定需求曲线的一组可能的泵组合；第二步利用粒子群优化模型，在给定的可行条件下，通过改变泵组的设置和流量，使初始投资的运行成本和折旧成本最小化。研究以江苏省南水北调某农工项目主泵站为例进行求解，并给出了计算结果，验证了文章模型的可行性，为泵站运行稳定具有一定的指导意义。