浙江省杭州第十四中学(310006) 朱成万

近几年来,高考、竞赛及各地模拟卷中函数不等式问题越来越综合,越来越灵活.所以深度学习显得尤为重要,因为深度学习是基于理解的学习.本文探讨用“两边夹”快速破解高考、竞赛以及各类模拟试卷中有关函数不等式问题,而且大多数都是较难题.用一个工具与策略解一类试题,实际上就是给出了一种深度学习的策略,这其中包含了变式与联想、迁移及创新.可谓方法至简,解法至精.

一、题目的妙解

例1(2008年高考浙江卷理科题)已知t为常数,函数y=｜x2-2x-t｜在区间[0,3]上的最大值为2,则t=____.

本题解法很多,举例如下:

解法1设x2-2x=A ∈[-1,3], 则问题转化为|A-t|≤2 在区间[-1,3]上成立,求t的值.

根据图1,t既不可能在1 的左侧,也不可能在1 的右侧,所以满足条件的t只能取1,即t=1.

图1

解法2令x=0,1,3 得:

即

解得1 ≤t≤1,所以t=1.

解法3把｜x2-2x-t｜≤2 变形为

令y1=(x-1)2-2,y2=(x-1)2+2,式子①的几何意义是直线y=t+1 必须位于函数y1与y2的图象之间,如图2 所示,因为函数y1的最大值与函数y2的最小值都是2,所以t+1=2,即t=1.

图2

评注解法1 非常漂亮,利用数轴,只用初中的知识就可以解决.解法2 是所谓的“秒杀”,为何x取0,1,3 这三个值,不取其他值? 这看似一种巧合,其实是必然! 因为二次函数y=ax2+bx+c在区间I上的最值必定在区间I的端点或函数顶点处取到.解法3 是借助函数图像,发现直线被两曲线夹住,从而得到直线的方程.

二、妙解的来源

以上三种解法,都很巧妙,实际上都用到了一个工具与策略——“两边夹”.

两边夹: 若a≤x≤a,则x=a.

例1 中,解法1 呈现的是一维的数轴上的“两边夹”,解法2 呈现的是两边夹的一个代数表示:“因为1 ≤t≤1,所以t=1”.解法3 呈现的是二维的坐标系中的一个“两边夹”的图示.

三、历史总是相似

两边夹“若a≤x≤a,则x=a.”结构简明,却威力无穷,是解决“条件为不等式,结论为等式”问题的利器.下面用它来妙解一系列高考、竞赛以及各地模拟题.

例2(2008年高考江苏卷)f(x)=ax3-3x+1 对于x ∈[-1,1]总有f(x)≥0 成立,则a=____.

解若x= 0, 则不论a取何值,f(x)≥0 显然成立; 当x ＞0 时,f(x)≥ 0 可化为令则则g(x)在区间上单调递增, 在区间上单调递减, 因此所以a≥4; 当x ＜0 时,f(x)≥0可化为同理可得g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)max=g(-1)=4,所以a≤4.

综上,a=4.

例3(2011年高考重庆卷改编题)已知a ＞0,b ＞0,c ＞0,a(a+b+c)+bc≥16,2a+b+c≤8,求a+b的值.

评注例2、例3 是应用两边夹的典范,都是求“条件为不等,结论为相等”问题,采用两边夹策略,问题迎刃而解.

例4(2014年浙江省数学竞赛试题)设f(x)是定义在R 上的函数,满足则函数f(x)=____.

解因为1 = sin2x+ cos2x≤根据等号成立的条件有:所以f(x)=

例5(2015 北大自主招生试题)已知对∀x ∈[1,5]成立,则不超过的最大整数是____.

解令x=1,3,5 得

则8 ≥|(1+p+q)-(18+6p+2q)+(25+5p+q)|= 8.当且仅当p=-6,q= 7 时, 上式“等号”成立, 所以故答案为9.

评注例4、例5 的解题关键仍是两边夹, 其基础是三角形不等式, 即|a| - |b|≤|a+b|≤|a|+|b|或|a| - |b|≤|a - b|≤|a|+|b|, 实际上, 这两个式子本身就是一个两边夹的代数表示,既适用于向量,也适用于实数与代数式.

例6(1996年高考全国卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b ∈R)的定义域为[-1,1],当|f(x)|的最大值为时,试求f(x)的解析式.

解由得,

图3

评注与例1 的解法二类似,可以利用数字-1,0,1 赋值,则得到不等式组

由三角形不等式,得|2+2b|=|(1-a+b)+(1+a+b)|≤|1-a+b|+|1+a+b|≤1,所以

例7(2022年浙江重点中学联考试题)已知函数f(x)=x2+ax+b-2,a,b ∈R.若∀x ∈[1,3],有|f(x)|≤成立,试求f(x)的解析式.

解由得:

如图4, 不等式③表示线段y=ax+b(x ∈[1,3])夹在函数和的图象之间.由题知, 经过A,B两点的直线与函数y1的图象相切.故所以

图4

评注本例可以看作例6 的“升级版”,例6 中两曲线夹住的直线是“平的”,本例中两曲线夹住的直线是“斜的”.实际上,绝对值不等式本身具有两边夹的形式,稍加变形便能实现“两边夹”的效果.

四、从“夹死”到加“夹缝”

更一般地, 式子a≤f(x)≤b也是两边夹.当a=b时,得到等式f(x)=a,我们称之为“夹死”,这类问题一般是求某参数的值.当a≠b时, 我们称之为“夹缝”, 不等式a≤f(x)≤b说明函数f(x)可以在“缝隙”[a,b]之间活动,所以这类问题一般是求某参数的取值范围.

例8设函数f(x)=x2+ax+b(a,b ∈R),若∃a ∈R,对∀x ∈[1,2], 有|f(x)| ＜2 成立, 则实数b的取值范围是____.

解由|f(x)|＜2 可得-2＜x2+ax+b ＜2,即

不等式⑥的几何意义是直线l:y=ax+b夹在两曲线段y=-x2+ 2 和y=-x2-2 之间, 如图5 所示.显然, 当l与AD重合到时, 其y轴上的截距的最大,当l与BC重合到时,其y上的截距的最小.由题可得直线AD的方程为:y=-7x+8,直线BC的方程为:y=x-4,即bmax= 8,bmin=-4,所以实数b的取值范围是[-4,8].

图5

例9(2014年高考浙江卷)已知函数f(x)=x3+3|x-a|,(a ∈R).设b ∈R,若[f(x)+b]2≤4 对x ∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.

分析由题意得:-2 ≤x3+3|x-a|+b≤2,即

不等式⑦表示折线h(x)= 3|x - a|+b夹在函数g1(x)=-x3-2 与g2(x)=-x3+ 2 的图象之间.如图6 所示, 当折线h(x)的顶点(a,b)位于点C时,直线y=3x-2 经过点A(1,1).当折线h(x)的顶点(a,b)位于点D时, 容易证明点B恰好是直线y=-3x与曲线g2(x)=-x3+ 2 的图象的切点.直线y=-3x与y=3x-2 交于点

图6

如图6 的阴影区域(曲边三角形CDE)是折线h(x)的顶点(a,b)的“可行域”, 根据线性规划知识, 知目标函数3a+b的最大值为0,最小值为-2.所以3a+b的取值范围为[-2,0].

本题的背景也是“两边夹”,是用两条三次曲线夹一条折线,“被夹”的函数还能在某个“可行域”内“活动”.

五、结束语

用“两边夹”快速破解有关函数、不等式试题,不论是“夹死”还是“夹缝”,还有更多的案例.限于篇幅,不再举例.最后,笔者所要说的是,我们研究用“两边夹”破解一类试题,并不是追求高难度的解题技巧,而是着意解题工具与解题策略的选择,着意于数学问题的理解,直透问题的本质,旨在探求一种深度学习的解题策略,以数学的方式育人.