浙江省杭州第十四中学(310006) 朱成万

近几年来,高考、竞赛及各地模拟卷中函数不等式问题越来越综合,越来越灵活.所以深度学习显得尤为重要,因为深度学习是基于理解的学习.本文探讨用“两边夹”快速破解高考、竞赛以及各类模拟试卷中有关函数不等式问题,而且大多数都是较难题.用一个工具与策略解一类试题,实际上就是给出了一种深度学习的策略,这其中包含了变式与联想、迁移及创新.可谓方法至简,解法至精.

一、题目的妙解

例1(2008年高考浙江卷理科题)已知t为常数,函数y=｜x2-2x-t｜在区间[0,3]上的最大值为2,则t=____.

本题解法很多,举例如下:

解法1设x2-2x=A ∈[-1,3], 则问题转化为|A-t|≤2 在区间[-1,3]上成立,求t的值.

根据图1,t既不可能在1 的左侧,也不可能在1 的右侧,所以满足条件的t只能取1,即t=1.

图1

解法2令x=0,1,3 得:

即

解得1 ≤t≤1,所以t=1.

解法3把｜x2-2x-t｜≤2 变形为

令y1=(x-1)2-2,y2=(x-1)2+2,式子①的几何意义是直线y=t+1 必须位于函数y1与y2的图象之间,如图2 所示,因为函数y1的最大值与函数y2的最小值都是2,所以t+1=2,即t=1.

图2

评注解法1 非常漂亮,利用数轴,只用初中的知识就可以解决.解法2 是所谓的“秒杀”,为何x取0,1,3 这三个值,不取其他值? 这看似一种巧合,其实是必然! 因为二次函数y=ax2+bx+c在区间I上的最值必定在区间I的端点或函数顶点处取到.解法3 是借助函数图像,发现直线被两曲线夹住,从而得到直线的方程.

二、妙解的来源

以上三种解法,都很巧妙,实际上都用到了一个工具与策略——“两边夹”.

两边夹: 若a≤x≤a,则x=a.

例1 中,解法1 呈现的是一维的数轴上的“两边夹”,解法2 呈现的……