周孝勇 黄红成

摘要：“分数的基本性质”在数学知识序列中属于具有承上启下作用的核心知识。教学时如果既关注分数的意义，又联通度量单位变化的意义，可以使原来略显单薄的知识变得丰富且生动，还能够串联起多个知识之间的内在联系。基于此，《分数的基本性质》一课教学展现了规律教学的特点，让学生经历规律的探索过程;展现了核心知识的意义和价值，让学生经历知识的构建过程。

关键词：《分数的基本性质》;探索规律;构建知识

本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。“分数的基本性质”在数学知识序列中属于具有承上启下作用的核心知识，在学生后继学习中应用颇多。如何培养学生从现象中发现规律的眼光？如何培养学生验证猜想和运用规律的意识？让学生经历知识“再创造”过程，具有重要的教学意义，也是数学核心知识教学的常用策略。同时，这一知识与之前学习的分数、除法等知识，与今后将要学习的比的基本性质等知识，都有着密切的联系。所以，教学时需要将这些知识进行前后勾连。另外，从分数单位的角度来看，它与单位转化的方法是一致的，教学时如果既关注分数的意义，又联通度量单位变化的意义，可以使原来略显单薄的知识变得丰富且生动，还能够串联起多个知识之间的内在联系。

《分数的基本性质》一课的教学内容是苏教版小学数学五年级下册第66—67页的例11、例12、“练一练”和第69页的练习十第1—2题。教学目标确定为：（1）自主探究、全面理解分数的基本性质，能借助分数的基本性质进行分数的改写;（2）学会多角度思考，能充分运用新旧知识之间的内在联系解决问题;（3）发展初步的归纳、类比能力，养成严谨细致的学习态度。教学重难点是：探究和理解分数的基本性质，感悟分数的基本性质与分数单位的关系。教学过程及评析如下：

一、教学过程

（一）基于旧知，感知规律

师（出示图1）在前面的《动手做》中，我们认识了“分数墙”。你能在这个“分数墙”上看到哪些分数？

生12、13、14……

师想一想，什么在变？什么没变？

生分母逐渐变大，分子都是1。

生分数的大小也变了，变得越来越小。

师（指第4行）再看这一行，你能看到哪些分数？

生我看到了14、24、34、44。

师屏幕显示：14、24、34、44再看看这些分数，说说你的发现。

生分母没有变化，分子越来越大，分数也变得越来越大。

师看来分数的分母变化或分子变化都会引起分数的大小变化。

师在“分数墙”上找一找，有与12相等的分数吗？

生24=36=48=12。

师虽然它们的分子与分母都发生了变化，但是从“分数墙”上，我们一眼就可以看出它们是相等的。想一想，与12相等的分数可能还有哪些？

生816、1020……

师看来还真不少，但大家说这些分数和12相等，光靠直觉是不行的，还需要验证一下。如果不借助“分数墙”，你有什么办法来确定它们与12是否相等呢？

生我想通过画图或折纸来比一比。

生我想化成小数后比较大小。

生我想到了商不变的规律。

师有这么多办法，你们真会思考！

[思考：从分数的意义出发，学生一般能发现分数的大小变化与分子、分母的变化有联系;在发现分子或分母有规律的变化中，能初步感悟函数思想，并对等值分数有了初步的直觉判断。其中，在变化中发现分数大小不变的特例是本环节的要点。]

（二）初步探索，发现规律

1.自主探究，提出猜想

师请先选择一个分数，用你刚才说的方法，比如折一折、畫一画或者算一算，来验证它和12是相等的。

（在学生操作之后，组织交流。教师相机板书。）

生我用的是折长方形纸的方法。先对折，就是把它平均分成了2份;然后涂出1份，涂色部分就是这个长方形的12。继续对折3次，我把它平均分成了16份，这时涂色部分就是这个长方形的816。所以，12=816。

师用折纸的方法来验证，比较直观。

生我是画图来验证12和510是否相等的。先画10个小正方形，再把它们平均分成2份，涂出它们的12，就是5个;再把它们平均分成10份，这时涂色部分就是它们的510，还是5个。所以，12和510是相等的。

师用画示意图的方法来验证，看上去很清晰，也验证了结果是相等的。

生我是化小数来验证的。12=1÷2=0.5，1020=10÷20=0.5，所以12和1020是相等的。

师化成小数再比较大小，很简洁。

生我是用商不变的规律来验证的。根据分数与除法的关系，先把这几个分数改写为除法算式，12=1÷2，1224=12÷24，依据商不变的规律，可以发现1÷2=12÷24，两道算式相等，所以两个分数也是相等的。

师能联系以前学习过的知识来验证，你真会思考！通过同学们的探索，我们可以发现12的分子和分母都变了，但是大小却可以不变。（指向板书区域）这里的12的分子和分母是随便变化的吗？你能发现这些分数变化有什么规律吗？

生12=1×22×2=24。

生12=1×32×3=36。

……

师结合刚才验证的过程，再看一看这些分数，你能概括一下它们的变化规律吗？先想一想，再和同桌说一说。

生12的分子和分母同时乘一个相同的数，分数的大小不变。

生分数的分子和分母同时乘一个相同的数，分数的大小不变。

师比一比这两位同学的说法，哪一种更准确？

生第一种。

师用由12发现的结论来概括所有分数，显然是不行的，但是我们可以把它先当作一个猜想。有了猜想就必然要验证，你认为可以怎样验证？

生我觉得可以多举一些不同分数的例子试一试。

生我觉得乘相同的数时也要多试几个数。

师既要选择不同的分数，又要考虑乘相同的数时多试几个，你们真会思考！请大家每人再举一个例子来验证这个猜想。

[思考：基于分数的意义，借助画图、折纸等方式直观呈现，将分数转化为小数，或者通过商不变的规律进行推理，多角度地说明这些分数与12相等，有利于学生得出科学的数学结论，形成严谨的思维习惯。]

2.丰富素材，验证猜想

师我们来交流一下大家验证猜想的过程。

生我选的是一个真分数。45=0.8，分子、分母同时乘2后是810，也等于0.8，说明这个猜想是对的。

生我选的是一个假分数。1110=11÷10，110100=110÷100，根据商不变的规律，它们的商是相等的，都是1.1。

师考虑了两种不同类型的分数，你们的想法比较全面。还有特别的例子吗？

生有。我选择的是66，分子、分母同时乘5，得到3030，它们都等于1。

师这个例子是有点特别。有不符合这一规律的例子吗？

生没有。

师既然找不到反例，我们就基本上可以说前面发现的这个规律是正确的。

[思考：举出更多的例子，且这些例子尽可能包含所有的类型，以此进一步验证先前的猜想。同时，变换思考的角度，引导学生寻找猜想的反例，来说明这个猜想是正确的。本环节，带领学生经历“验证猜想—得出結论”的过程，以形成科学、严谨的学习态度。]

（三）全面探索，揭示规律

1.回顾方法，拓展猜想

师刚才，我们在“分数墙”上发现了许多与12相等的分数，然后猜想、验证，得到结论。你能由这个结论出发继续猜想吗？先自己想一想，再和大家交流一下。

生我猜想，分数的分子和分母同时除以一个相同的数，分数的大小不会发生变化。

生如果分数的分子和分母同时加上一个相同的数，分数的大小也可能不变。

生我们还可以试试分数的分子和分母同时减去一个相同的数，看看分数的大小会不会发生变化。

师一个结论引发了我们这么多的猜想，你们很会思考！

[思考：规律的发现离不开猜想，而猜想不是凭空产生的，变换已有结论中的部分要素是猜想的常用方法。这里，让学生提出有价值的新猜想，旨在打开学生的思路，为全面探索分数的基本性质做准备。]

2.自主验证，集体交流

师请每个小组任选一个猜想，举几个例子验证一下。

（在学生分组验证之后，组织交流。教师相机板书。）

生我验证的是第一个猜想。我把1025的分子与分母同时除以5，得到25。1025等于0.4，25也等于0.4，它们是相等的。

生我举的例子也可以说明这个猜想是对的。我把1812的分子和分母同时除以6，得到32，化成小数都等于1.5。

师这两个例子说明了第一个猜想是正确的。有说明这个猜想不正确的吗？

生没有。它应当是正确的。

生我的例子验证了第二个猜想是不正确的。我先写23，把它的分子、分母同时加上1，得到34。23等于0.666…，而34等于0.75，两个分数不相等。

师只要举出一个反例，就可以推翻一个结论。第二个猜想被我们否定了，那第三个猜想呢？

生我把59的分子、分母同时减去4，得到15，这两个分数不相等。

生老师，我找到了一个特例：55的分子和分母同时加上1，得到66，还是相等的;同时减去1，也相等。

师这个例子还真的相等。对于这个例子，你有什么想说的？

生这只是一个特例，可其他的分数都不行，照样不能说明后两个猜想成立。

[思考：通过从正、反两个方面验证猜想，引导学生学会全面地思考问题，养成良好的思维习惯。]

3.总结规律，沟通联系

师通过刚才动手动脑，举例验证，我们知道：分数的分子和分母同时除以一个相同的数，分数的大小也不变。与之前的结论合起来，可以怎样说？

生分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变。

师这里，“相同的数”是否要考虑特殊情况？

生“相同的数”不能为0。

师现在谁能用简洁、准确的语言把我们发现的规律说一说？

生分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

师这是分数知识中的重要规律，叫作分数的基本性质。（板书课题）你是否有一种与它似曾相识的感觉？

生有点像除法中商不变的规律。

师是的，一起来看。（出示四年级教材中的“商不变的规律”）小声地读一读。想一想它们之间的联系，然后同桌说一说。

生根据分数与除法的关系，分子可以看成被除数，分母可以看成除数，那么，分子和分母同时乘或除以相同的数，就相当于被除数和除数同时乘或除以相同的数。

师找到了这样的联系，可以帮助我们更加深刻地理解新知识。学习了分数的基本性质，我们可以用它进行一些简单的判断，解决一些简单的实际问题。

[思考：借助分数与除法的关系，使“商不变的规律”与“分数的基本性质”前后勾连，帮助学生从不同的角度理解新知识。]

（四）练习运用，理解规律

1.判断等式正误

师下面的等式成立吗？成立的在后面画“√”，不成立的画“×”。

出示第（1）题：27=2×27×2=414（）。

生27的分子、分母都乘2，它的大小不变，所以这一题是对的。

师看来这个分数的变化过程是符合分数的基本性质的。

出示第（2）题：49=4÷29÷3=23（）。

生这个等式不成立，不能分子除以2、分母除以3。要么同时除以2，要么同时除以3，这样分数的大小才不变。

师他关注到了要除以一个“相同的数”。

出示第（3）题：45=4÷25×2=210  （）。

生这个等式不成立，不能分子除以2、分母乘2，应该分子和分母同时乘或同时除以一个数。

师他关注到了要“同时乘或除以”。

出示第（4）题：510=5×a10×a（）。

生我认为是对的，因为分子、分母同时乘a。

生我不同意，这里的a有可能为0。

师通过争辩，我们发现需要关注“0除外”。

2.运用规律填空

师出示题目：15=（）15，918=3（）要使这两个等式成立，可以怎样填？

生第一个等式里填3，分母由5到15乘了3，分子1也要同时乘3。

生第二个等式里填6，分子由9到3除以了3，所以分母18也要除以3。

师同学们都能根据已知的分子或分母的变化，再借助分数的基本性质解决问题。

3.用直线上的点表示分数

师出示12、23、1530、400600四个分数和图2分数也可以用直线上的点表示，找一找这些点在哪里，看看谁的方法又准又快。

生12就等于0.5，所以它在0和1的中间。

师这位同学利用了化小数的方法，还有不一样的方法吗？

生我把0—1这一段长度平均分成两份，中间的点就表示12。

师他根据分数的意义找到了12。

生我把0—1这一段长度平均分成3份，从左向右看，表示这样的2份的点就是23。

师他也根据分数的意义找到了23。

生我根据分数的基本性质发现1530和12是相等的，从而找到了1530。如果平均分成30份，画起来很不方便。

师看来利用分数的基本性质可以更简便一些。

生我也根据分数的基本性质发现400600和23是相等的。

……

师看来，运用分数的基本性质可以让我们更快、更准地解决这类问题。

[思考：变换不同的要素，让学生体会分数的基本性质中各个关键词的意义，进而从整体上把握这一规律。通过在数轴上找分数，学生体会到分数与直线上点的对应关系以及分数基本性质的价值，进一步认识了等值分数，更深刻地理解了分数的基本性质。]

（五）课堂总结，解释规律

师通过今天的学习，你能与大家分享一下你的收获吗？

生我知道了分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

生我知道了，遇到问题可以先猜想，然后验证，最后形成结论;根据得到的结论，还可以提出新的猜想。

师通过今天的学习，同学们不但习得了分数的基本性质这一知识，还完整经历了探究数学规律的过程。

师（出示涂上分数单位的教材例题图，见图3）讓我们再来看一看：之前画图研究与12相等的分数时，分数的分母乘2，什么变了呢？

生平均分的份数变成了4份。

生分数单位由12变成了14。

师分子乘2，又是什么变了呢？

生表示这样的份数变了，也就是分数单位的个数变了。

师那么不变的又是什么？

生分数的大小不变。

生我感觉这与单位互化的方法差不多。

师从分数单位变化的角度来看分数的基本性质，可以发现它与之前学过的其他知识的联系，转化的方法也是一致的。其他两幅图也是这样变化的吗？有兴趣的同学好好研究研究，感受分数的基本性质背后的奥秘。

[思考：与整数一样，分数可以看成是由多个计数单位累加得到的。认识分数的基本性质之后，再次借助图形，引导学生从分数单位的视角观察，认识到分数的基本性质可以看成分数单位的细分与合并——在此过程中，分数单位的个数随之发生变化，但是分数的大小不变。这一过程揭示了分数的基本性质中“变与不变”的重要内涵。]

二、教学评析

核心知识的教学需要展现核心知识的意义和价值，数学规律的教学需要让学生经历规律发现、概括、验证等探索过程。下面，就从这两个维度来审视和品味这节课的教学。

（一）展现规律教学的特点，让学生经历规律的探索过程

首先，这节课给学生提供了探索规律的学习场。学生的学习环境是需要精心设计的，只有在合宜的学习环境中，学生才可能获得真实的收获和发展。审视这节课的学习场，里面有教师结合学生的已有经历和已有知识（“分数墙”）精心创设的问题情境，能够让学生在熟悉的问题情境中产生学习的内驱力和倾向，并结合已有的知识经验进行规律的探索与学习;里面有学生主动探索规律的学习时空，学生多次经历“发现问题—提出猜想—验证猜想—概括规律”的过程，有效地培养了发现问题和解决问题的能力。

其次，这节课也体现了规律教学的科学性。可以说，小学阶段的数学规律大多采用不完全归纳的方法，让学生通过观察对比、分析推理等方式获得，这节课的教学大抵也是如此。这样教学，迎合了小学生的认知特点和学习需要，使得“分数的基本性质”的得出自然而然。而更难能可贵的是，这节课还采用了找反例和特例的方法来体现数学结论的科学性和数学教学的严谨性。比如，在完善结论阶段，询问学生：“有不符合这一规律的例子吗？”因为没有与之相悖的例子，从而显现了结论的科学性，培养了学生严谨的学习态度。

（二）展现核心知识的意义和价值，让学生经历知识的构建过程

其一，凸显了核心知识的特点。迁移能力强是数学核心知识的特点之一，数学核心知识的教学需要凸显这一特点。这节课中，在学生初步概括出“分数的分子和分母同时乘一个（不为0）的数，分数的大小不变”的规律之后，还让学生拓展出“分数的分子和分母同时除以、加上和减去一个（不为0）的数，分数的大小不变”的猜想，在完善“分数的基本性质”的同时，也培养了学生的迁移意识和思维能力，更体现了数学核心知识的特点。

其二，彰显核心知识的作用。数学核心知识在知识序列中一般处于关联前后知识的位置，发挥着承上启下的构建知识网络的作用。数学教学，如果能让学生将彼此相关的概念、性质、规律等整合起来分析和解决问题，则有益于学生自主构建知识体系。这节课中，在概括出“分数的基本性质”后，新知的教学并没有偃旗息鼓，而是继续让学生自主地将商不变的规律融入其中，进行知识的前后对比和本质挖掘。这样，不仅让学生认识到分数的基本性质和商不变的规律的关系和实质，也帮助学生实现了数学核心知识的自主建构。

参考文献：

[1] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 刘正松.让核心知识自然生长——《分数的基本性质》教学实践及思考[J].教育研究与评论（小学教育教学），2015（6）.