王立

原题呈现：已知向量满足，向量，向量，其中，若，求：最小值.

方法一：知代入转移至可得，所以，

所以最小值为2.

方法二：建系，通过建系找到的坐标，代入已知可得，所以最小值为2.

方法三：如图1可知，所以只需在上投影是即可，如图可知，所以最小值为2.

用三种方法分析该题，并强调其几何意义，这里出现了“等和线”的性质特征，争取利用一节课让学生能够把这种题型弄明白，掌握“等和线”的优点，于是将其进行变形：

变式1：已知在平行四边形OACB中，，，若P在△ABC内（含边界点），求范围.

该题用三种方法来解决该题，发现利用坐标法时会用到线性规划的思想，这也可以考查学生的知识迁移能力。利用基底法时，发现构造数量积的方法也可行，而且利用这种方法学生可以秒杀这道题，在以往做题时只发现垂直或外心利用数量积的比较多。但是可惜这种方法有一定的局限性！利用几何意义，即“等和线”性质时，这题也可以秒杀的（如图2）。

以上都是与“线”相关的，那如果是“弧”会怎么样呢？所以又想到了以下变式：

变式2：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含边界点），求范围.

同样也试用三种方法来解决这道题，利用坐标法时可以巧妙地利用三角换元（因为P在圆弧上），但是在换元时，很多学生不清楚这个角度有什么几何意义，不清楚为什么横坐标换为，纵坐标换为，这里也正好可以通过该为学生进行知识点补漏。利用基底法时仍然可以构造数量积。利用几何意义“等和线”性质时要注意这里的比值不是整数了，但仍然可行，而且速度比较快！

但是如果改变前面的系数会是怎么样呢？所以就有了下面的变式

变式3：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含边界点），求范围.

这道题重点就是对这个负号的突破，不难发现是相反向量，这样就可以迎刃而解，这里准备介绍两种方法，即坐标法（三角换元）和几何法（等和線）.

进一步变形：

变式4：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含边界点），求范围.

本题难点就是这个“3”表示什么几何意义，找到了就突破了，并不是很难.但在用三角换元解本题时发现无法利用辅助角将其完全的化简，所以要利用的范围，及的确定方法，这样更好地温习了辅助角的用法.

在这里突然想到某一年杭州联考时有一道大家都认为比较难的题，即：

变式5：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（不含边界点），若存在最大值，求范围.

本题难度比较大，但是利用三角换元，和的范围，或者等和线又可以很快的解决该题.

“等和线”是向量中的一种特殊题型，利用等和线的性质可能更快的解决此类向量问题。