河北秦皇岛第一中学(066006) 陈英杰 赵成海

结构不良的问题并不是指问题本身有什么错误或者不恰当,而是指它没有明确的结构或者解决途径.而2020 年新课程改革的高考卷,首次出现结构不良题目,得到广泛关注,因而我们对结构不良题目的编制进行深入研究,当然对于结构不良试题的编写,我们依然在不断地研究探索阶段,因而对这类问题,在平时教学中除了选用外来题目之外,如何通过自主命题,来编写出考查目的更明确、考查效果更明显,更科学合理的优秀题目,以从真正意义上实现学生数学素养的提升,并不断地得到进一步升华,这是值得我们去思考与研究,下面以解三角形问题为例,谈在结构不良试题的编写设计策略.

1 编拟原则

在数学考试中引入、设置结构不良试题是考试内容改革的要求,2016 年,教育部考试中心提出建构高考评价体系,高考数学科研究了基于高考评价体系的数学学科考试内容改革实施路径[1].在教学中,结构不良问题的设计要以主题式组织情境和问题,设计过程中,要根据其特性,一方面对其真实的情境数学进行适当加工,使其蕴含着有价值的问题,期待学生从多个视角去发现、探究它;同时,对于条件、结论、方法等问题结构要素进行合理设置,或使条件部分呈现,或调用的概念、原理不明确,或解决方法多样性等,设问的角度要指向课堂目标,做到问题开放有度、解决有法、启发性和思考性相得益彰[1].

按结构不良试题定义,在编写过程中,首先研究问题条件或数据部分缺失的问题,作为研究对象的新题型,试题难度不要太大,以中等难度为第一条基本原则;知识内容不能太复杂,以限制所涉及的知识点数量,不要过于综合为第二条基本原则;能力要求不能过高,对考查的能力种类和层次有所限制,这是第三条基本原则.基以上,我们编写时其基本策略可以参考下面几点.

2 结构不良试题类型与策略

2.1 多题合一型的合并策

结构不良试题,纯原创题有一定的难度,而编拟过程中,一般以改写为主,改写过程中素材的选取也很重要,以往的题目极具参考价值,因而其策略是多题合一型.

例1 原题1:在ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,且

(Ⅰ)求B角的大小;

(ⅠⅠ)若b=,求ΔABC面积的最大值.

原题2:(2013 年全国高考题ⅠⅠ卷)在ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,已知a=bcosC+ccosB.

(Ⅰ)求B角的大小;

(ⅠⅠ)若b=2,求ΔABC面积的最大值.

原题3:(2014 年全国高考题Ⅰ卷) 在ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,求ΔABC面积的最大值.

(Ⅰ)求B角的大小;

(ⅠⅠ)若b=2,求ΔABC面积的最大值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分.

自然,也可以选择以1 题或3 题为目标方向,调整字母或系数,达到合理统一.读者不妨一试.

2.2 从已知条件入手的开放策略

题目的开放点可以有多种的选择策略,比如已知条件上的开放,也就是指已知中题设条件的多样化.在编写过程中,条件也不要局限于三种,可以准备多种,然后根据每种条件下的解答,在推理、运算、转化等过程的难易程度,进行筛选.原则是当考生选择不同条件做为已知时,不能有太大的难度差异,目的不能造成由于考生选择的不同而产生过度的不平衡状态,从而既保持了结构不良试题的特点,同时又保证了考试的公平性.

例2 在ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,________.

(Ⅰ)求B角的大小;

(ⅠⅠ)若b=2,求ΔABC面积的最大值.

2.3 从目标形式入手的开放策略

除了从条件入手,也可以将开放点定位在问题解决目标上,即已知条件不变,但同样的条件下所面对的问题可以是开放的.

2.3.1 结论半开放型

例3 在ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,且2sin2B+sin(A+C)cosB=3.

(Ⅰ)求B角的大小;

(ⅠⅠ)若b=2,求____的最大值.

在空白处填写一个可求结论目标函数,目标函数变化,但目的定位是统一的,本题为函数的最大值.

(Ⅰ)求B角的大小;

(ⅠⅠ)若b=2,求_____.

在空白处填写一个可求结论目标函数,目标函数变化,但目的定位是统一的,本题为函数的范围.

2.3.2 结论全开放型

2.4 条件结论综合型的开放策略

更开放的题目是条件与结论都具有不确定性,我们称其为“综合开放型”.通过这样的设计,目的是希望考生解答题目前首先做出合理判断,在选择挑出自己最擅长的,或自己认为更有把握的,给考生搭建展示的平台.

例6 原题:(2017 年全国ⅠⅠ卷)ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,已知sin(A+C)=8sin2.(Ⅰ)求cosB的值;(ⅠⅠ)若a+c=6,ΔABC的面积为2,求b.

改编成:ΔABC中,三边a,b,c对应三内角A,B,C,已知sin(A+C)=

(Ⅰ)求cosB的值;

(ⅠⅠ)从以下①②③中选择两个作为已知,另一个作为结论写出相应命题? 然后任选其中一个命题,判断其真假,如果是真命题,给出证明.如果是假命题，请说明理由.

①a+c=6,②b=2,③ΔABC的面积为2.

注:如果选择多种情况做了分别解答,按第一个解答给分.

解析:(Ⅰ) 由已知sin(A+C)=化为:sin(π -B)=4-4 cosB,即sinB=4-4 cosB,两边平方整理得:17cos2B -32 cosB+15=0,解得cosB=1(舍)或

(ⅠⅠ)(1) ①②⇒③:已知a+c=6且b=2,求证:ΔABC的面积为2;

(2) ①③⇒②已知a+c=6,且ΔABC的面积为2,求证:b=2;

通过以上分析,可以归纳为结构不良题目有三种情形:已知条件不明确,目标明确;已知条件明确,目标不明确;已知条件和目标都不明确[2];通过研究可见结构不良试题层次要求一般的,还是比较容易编写,并非那么神秘而高不可攀,只要我们把握题目方向以及所要考查的目标,结合知识板块内容的特点,进行有效组合、合理的调整已知中的系数等,编拟出高质量的考题还是可以得心应手的.而更深层次的编写则需要我们进一步加强研究与学习,更深入地去了解与掌握新高考体系对高考命题工作的要求,并通过高考实践性的检验,对得到有效数据进行合理分析与对比研究,从而得到能力的升华,这有待有兴趣的研究者与爱好者们的共同努力.