杨立星 李玉霞

摘 要：本文从案例教学的角度探索线性代数课程的教学，通过引入与实际有关的案例，可以有效降低课程的抽象性和理论性，加强应用性，引起学生学习本门课程的兴趣，提高课程的教学质量。

关键词：线性代数;案例教学;行列式;矩阵;线性方程组

一、概述

线性代数课程是一门重要的公共基础课程，为经管类、理工类学生学习专业课程提供必要的知识储备，也是各专业学生升学考试的考试科目，本门课程的重要性不言而喻。另一方面，和其他数学课程相比，本门课程在多数高校里面学时短、内容抽象、理论性很强，学生学习本门课程具有一定的难度。

通过引入有实际背景的案例或蕴含课程思政元素的案例，可以有效地降低课程的抽象性，而且可以让学生认识到课程的重要性，培养学生理论联系实际的能力，达到“学以致用”“立德树人”的目的。从而提高学习本门课程的兴趣和学习的主观能动性，提高本门课程的教学质量，为学生后续的学习打下良好的基础。

二、案例举例

（一）案例1：线性方程组、克拉默法则的应用

《九章算术》在公元一世纪左右成书，在书中第8章方程中提到线性方程组，并给出了求解方程组的方法。书中提到谷物称重问题：在已有的三种谷物中，如果第一种谷物的数量有3袋、第二种谷物的数量有2袋、第三种谷物的数量有1袋，以上三种谷物重量总计是39个重量单位;如果第一种谷物的数量有2袋、第二种谷物的数量有3袋、第三种谷物的数量有1袋，以上三种谷物总重量总计是34个重量单位;如果第一种谷物的数量有1袋、第二种谷物的数量有2袋、第三种谷物的数量有3袋，以上三种谷物总重量总计是26个重量单位。请问，每种谷物一袋重量是多少？

解：三种谷物重量分别设为：x，y，z，则可建立线性方程组：

利用克拉默法则可解的：x=374，y=174，z=114。

通过这个案例，弘扬了中国文化，使学生认识到我国文化的博大精深和先人的聪明智慧，增强了学生的民族自豪感和文化自信息、愛国情怀。

（二）案例2：行列式的应用

（三）案例3：经济学中的应用案例

1.矩阵理论的应用：列昂惕夫投入产出模型

设经济体系由三个部门组成：制造业、农业和服务业（下图），单位消费的向量矩阵（下表）：

如果制造业决定生产100单位产品，它将消费多少？

计算：100C1=1000.500.200.10=502010，也就是表明，为生产100单位产品，制造业需要消费制造业其他部门的50单位产品，20单位农业产品，10单位服务业产品。

若制造业决定生产x1单位产出，则在生产过程中消费掉的中间需求是x1C1，类似的，若x2，x3表示农业和服务业的计划产出，则x2C2，x3C3为他们的对应中间需求，三个部门的总中间需求为：

78，即需要制造业约226单位，农业119单位，服务业78单位。

2.某华为专卖店有四种型号的手机H、M、N、P

现知道第一季度三个月每一种型号手机的销售量如下（单位：台）：

通过上面矩阵的乘积可以看出一月、二月、三月该手机专卖店的销售总额分别为731600元、790500元、711400元，销售总利润分别为79300元、92400元、78500元。

（四）案例4：逆矩阵在密码学中的应用

建立26个英文字母与数字之间的一一对应关系：

通过这个矩阵，巧妙地引出“1921”“1949”两个重要年份和两个一百年，引出思政元素，增加学生对现在和平年代来之不易的认识和当下国家发展的自豪感。

（2）从马克思主义哲学思想出发，挖掘思政元素。例如在讲解矩阵和行列式的定义时，因为学生经常将行列式和矩阵表示方法混淆，为了让学生认识两个概念的本质，行列式本质上是一个“数”，而矩阵是一个“表格”，通过哲学概念“现象与本质”加深对行列式与矩阵定义的认识。又如，在讲解矩阵的初等变换时，可以引入“变与不变”的哲学概念，对一个矩阵进行初等行变换，矩阵虽然发生了变化，但是矩阵的秩、矩阵对应的齐次线性方程组的解均不发生变化。

结语

通过引入有实际背景的案例或蕴含课程思政元素的案例，可以让学生认识到线性代数本门课程的广泛应用，通过实际案例，学生更容易地理解相应的理论，提升了用理论知识解决实际问题的能力，达到了课程育人的目的。

参考文献：

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基金项目：2021年度山东省青少年教育科学研究院，山东省教育教学改革研究项目“应用型高校《概率论与数理统计》课程思政育人机制的探索与实践”（21JG169）

作者简介：杨立星（1986— ），男，汉族，山东东平人，讲师，研究方向：高等数学教学。