李超，谢振宇，吴传响，王一建

(南京航空航天大学 直升机传动技术重点实验室，江苏 南京 210016)

0 引言

主动式磁悬浮轴承(简称磁轴承)利用可控电磁力实现转子无接触支承，具有无磨损、寿命长、可靠性高、支承刚度和支承阻尼可调等优点，可实现在线检测和故障诊断，具有智能机械的潜力，被视为支承领域的一次技术革命，广泛应用于各类旋转机械[1-2]。

磁轴承本质上是不稳定的，必须施加控制才能实现转子的稳定控制，而控制器的性能优劣则决定了磁轴承的支承性能。国内外都成功将各类控制方法应用于磁轴承领域，如PID控制、滑模控制、鲁棒控制、模糊控制、神经网络控制等[3]。

模糊控制模拟人的思维方式进行控制，不需要建立系统准确的数学模型，为解决复杂非线性、时变性及不确定性等控制难题提供了一种新的方式，具有较强的鲁棒性[4]。

本文综合模糊控制与PID控制的优点，设计磁轴承的模糊PID控制算法，既能发挥PID的控制简单、使用方便等优点，也能模拟专家经验，达到良好的控制效果。

1 试验系统及各环节传递函数

磁轴承作为一种机电一体化产品，包括系统的机械结构和复杂的电控系统。机械结构主要包括转子、磁轴承、电机和基座等；电控系统主要包括位移传感器、控制器、功率放大器等环节。

本文所用的磁轴承试验台的总体结构如图1所示。

图1 磁轴承试验台机械结构

磁轴承控制系统原理如图2所示。

图2 磁轴承控制原理

位移传感器实时检测转子的位置，经过二次电路与给定值比较得到转子的偏差信号，控制器产生对应的控制信号，由功率放大器处理后输出电流至电磁铁产生电磁力，使转子返回设定位置。

采用实验室研制的电涡流位移传感器，其灵敏度高、线性范围大、抗干扰能力强，完全满足工业精度要求。经测试，其通频带为10 kHz，时间常数为1.59×10-4s。设计的径向保护气隙为0.3 mm，对应传感器二次电路的最大输出5 V，故其放大倍数为16 667 V/m。电涡流位移传感器的传递函数可用一阶惯性环节表示为

所设计的磁轴承的偏置电流为2 A，则线圈中的电流范围为0～4 A，控制器输出的控制信号为-5～+5 V。因此，功率放大器的放大倍数为0.4 A/V。经测试，功率放大器的时间常数为3.183×10-5s。功率放大器的传递函数可用一阶惯性环节表示为

所设计的磁轴承部分参数如表1所示。

表1 磁轴承部分参数

通常采用差动控制方式实现转子任意位置的控制，其电磁力表达式为

在悬浮中心进行泰勒级数展开并忽略高次项，得磁轴承的线性化磁力表达式为

F=kiIc+kss

式中：

其中：ki为磁轴承的电流刚度；ks为磁轴承的位移刚度；α为电磁力与中心线夹角，与磁极数有关。

根据牛顿运动定律，当外力为0时，可以得到转子受力为

对上式进行拉普拉斯变换，可以得到磁轴承传递函数：

2 控制算法设计及仿真

工业控制中通常在PID控制器中引入一阶低通滤波器，构成不完全微分PID控制器，避免微分项的高频干扰，以应对过程中的时变不确定性等因素。

磁轴承的不完全微分PID控制框图如图3所示。

图3 磁轴承不完全微分PID控制框图

在Simulink搭建的不完全微分PID控制器仿真模型如图4所示。

图4 磁轴承不完全微分PID控制仿真模型

模糊PID控制器根据模糊控制规则进行模糊推理，对常规PID参数进行调整，以满足系统对控制参数的要求。磁轴承的模糊PID控制器结构如图5所示。

图5 磁轴承模糊PID控制器框图

取偏差和偏差变化率作为系统的输入变量。传感器二次电路的输出电压范围为[0,5]，则偏差的基本论域为[-2.5,2.5]，取偏差变换率的基本论域为[-8,8]。取偏差和偏差变化率的模糊论域为[-6,6]，模糊控制器的三个输出模糊论域也取为[-6,6]，取模糊子集均为{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}。

选择三角形隶属函数作为输入输出量的隶属函数。其对输入变化反应迅速、控制分辨率高、灵敏度高、计算方便快捷。

选用重心法作为输出量的解模糊化方法。其能够综合所有元素的信息，具有更好的控制效果。

模糊控制规则是对专业知识和实践经验的概括和抽象。根据偏差和偏差变化率选择控制参数的原则[5-6]，并结合实际调试经验，建立模糊控制规则表。设计思想是在保证系统稳定的前提下，使系统具有较小的超调量和较快的响应速度。其中ΔKp的模糊控制规则表如表2所示。

表2 ΔKp模糊控制规则表

Simulink中搭建的磁轴承模糊PID控制器的仿真框图如图6所示，与不完全微分PID仿真对比如图7所示。

图7中曲线1为模糊PID控制器的仿真曲线，曲线2为不完全微分PID控制器的仿真曲线。不完全微分控制器下，转子的超调量为20%，调整时间为0.075 s；模糊PID控制器下，转子的超调量为6%，恢复时间为0.02 s。虽然两种控制方式都能实现转子的稳定控制，但是模糊PID控制器具有更好的控制性能。

图6 磁轴承模糊PID控制仿真模型

图7 仿真结果对比

3 模糊控制器FPGA实现

本文设计的模糊PID控制器主要包括AD控制模块、模糊PID控制模块、PI模块和PWM模块。FPGA内的程序流程如图8所示。

图8 FPGA内部程序流程

3.1 AD控制模块

本文选用AD7938作为模数转换芯片。AD7938为12位高速并行ADC，采用片内基准电压作为参考电压，最大输入为5 V，对应数字量4 095，则其采样精度为1.22 mV，满足本课题需要。

为了保证转换的数据稳定，设计采用25个时钟周期为一次读写操作时序。AD7938的采样时钟由FPGA提供，本文设置的工作频率为25 MHz，则单通道采样频率为200 kHz。转子额定转速为200 Hz，完全满足采样要求。

3.2 模糊PID算法模块

模糊控制算法逻辑复杂，若直接设计硬件电路，将占用大量的资源，需要较长的运算时间，导致采样不能及时反馈，造成控制失稳。本文采用离线制表、在线查表的方式设计模糊PID控制器。借助模糊工具箱设计模糊控制系统，在MATLAB中得到模糊查询表，将其存储于FPGA芯片中，通过实时查询该表输出控制。

模糊PID算法模块包括误差计算模块、模糊控制模块、计算模块和PID运算模块四个子模块。其中，模糊子模块包括模糊量化和模糊查表两个子模块。

1)误差计算子模块

本模块主要求解偏差和偏差变化率，涉及输入值与给定值的减法计算、偏差的寄存和偏差变化率的计算。

2)模糊量化子模块

采用十三级对偏差和偏差变化率进行量化，并采用四位二进制编码对其编码。偏差和偏差变化率的地址编码一起构成八位查表地址，其中高四位为偏差e编码，低四位为偏差变化率ec的编码。八位地址可查询256个空间存储。假设偏差输入为0.5，偏差变化率输入为2，按照划分，偏差位于区间[0.2,0.6)，对应的量化等级为1，论域编码为0001，偏差变化率位于区间[1.5,2.5)，量化等级为2，编码为0010，则寻址地址为0001_0010。

3)模糊查表子模块

按照设计的模糊控制系统，在MATLAB中得到三个输出变量的模糊查询表。在Quartus Ⅱ中调用ROM IP核存储三个模糊查询表。由于实际得到的控制值存在小数部分，为简化计算，本文对其放大64倍取整后存入ROM，在后续计算中通过移位操作缩放即可。

4)计算子模块

由于模糊控制模块的运算需要时间，为了保证偏差与PID参数对应，需要设计延时模块。本模块完成延时、模糊输出值的缩小、PID参数运算，以及e(k)、e(k-1)和e(k-2)的计算。延时主要通过计数器完成；缩放通过移位操作完成；PID参数运算计算公式如下式所示，注意扩展一位，避免数据位溢出；e(k)、e(k-1)和e(k-2)的计算主要通过寄存完成：

Kp=Kp0+ΔKp

Ki=KI0+ΔKi

Kd=KD0+ΔKd

5)PID计算子模块

目前使用的数字PID算法主要有位置型算法和增量型算法两种。本文选择增量型数字PID算法。因其不易产生误差累计，能够实现更好的控制效果，数学表达式为

Δu(k)=Ae(k)+Be(k-1)+Ce(k-2)。

其中：A=Kp+Ki+Kd；B=-Kp-2Kd；C=Kd。

使用图9所示的结构进行增量型数字PID算法设计。其中e(k)、e(k-1)、e(k-2)、A、B、C均由前述计算子模块计算输入。

图9 增量型数字PID设计结构图

FPGA的乘法运算，占用资源较多且运算速度较慢。本文通过调用乘法和加法IP核完成乘法和加法运算。

3.3 PI模块

本模块的设计目的是保证电流跟随控制信号变化，同时生成差动控制的两个控制信号。当积分饱和时，控制量在饱和区域停留时间较长，不利于控制。针对该现象，设计抗积分饱和算法。在计算u(k)时，先确定u(k-1)是否超限，当其大于最大值时，只累加负偏差；小于最小值时，只累加正偏差，避免执行机构到达极限位置。

3.4 PWM模块

本模块将PI模块产生的控制信号与三角波比较以获得驱动信号。通过计数器完成数字三角波设计。计数器的时钟频率为50 MHz，计数5 000为一个周期，对应的三角波频率即为10 kHz。为实现差动控制，将差动的两路信号与互补的三角波比较，输出差动PWM波。同时，设计死区时间避免IGBT误导通烧毁器件。

4 试验验证

本文使用图10所示试验系统完成模糊PID控制器的试验验证。其中，变频器驱动内置电机带动转子高速旋转；电控系统采用设计的模糊PID控制器，实现转子的五自由度支承。

图10 试验系统

利用示波器检测转子位移和线圈电流。借助数字采集卡及实验室开发的虚拟数据采集仪，记录升速过程转子振动情况。利用origin绘制转子的同频振幅曲线如图11所示。

图11 两种控制算法转子同频振幅曲线

从图11可以看出，采用两种控制算法均能实现转子的稳定悬浮和旋转。采用不完全微分PID控制器时，转子在额定转速12 000 r/min稳定旋转时，转子的振动量为18 μm；采用模糊PID控制器时，转子在额定转速下稳定旋转时，转子振动量为10 μm。

5 结语

本文针对磁轴承采用不完全微分PID控制器难以实现理想的控制效果，设计了模糊PID控制系统。在Simulink中搭建了两种控制器的仿真模型，仿真结果表明，模糊PID控制器能达到更好的控制效果。搭建了五自由度磁轴承试验台，实现了转子的高速旋转，对比转子的同频振幅曲线。结果表明：模糊PID控制器确能减小转子振动，实现更好的控制效果。