张维忠， 赵千惠

(浙江师范大学 教师教育学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

为了应对当今世界正面临的日益增长的不确定性，联合国教科文组织发起了“教育的未来”倡议(futures of education initiative)，发布了《学会融入世界：为了未来生存的教育》(《Learning to Become with the World:Education for Future Survival》)报告，勾勒出2050年后的教育.从了解世界到采取行动，再到与周围的世界融为一体，实现教育范式的根本转变[1].诚然，强调学会融入世界，就意味着必须适应当今以信息技术和知识经济为特征的21世纪：知识和智慧将取代资本和资源，体力劳动型和简单脑力劳动型职业将逐渐被技术所取代，凸显了培养综合型、创新型、应用型人才的必要性和迫切性.这也促使教育工作者意识到培养学生的综合素养、创造力不仅是对时代诉求的回应，也是深化我国课程教学改革的大势所趋.

然而，在现今大众数学的教育背景下，数学作为一门单一学科，强调学科内在结构的系统性，目前已无法独自承担培养学生综合素养的任务.学生时常陷入“知识无用论”的窘境，所形成的惰性知识是无关联的、孤立的，从而导致在面对真实情境问题时无法灵活调动已有知识来解决现实问题.因此，为了达成上述的教育愿景，人们不得不审视、反思传统的知识及分类，并探寻一种超越学科边界的融合的新知识观[2].研究热浪席卷全球的STEAM(科学、技术、工程、艺术、数学的有机融合)教育就是这方面的典型，其以跨学科为核心特征，能有效软化传统学科的边界，已成为各国提升核心竞争力的重要战略.其中，澳大利亚作为西方发达国家的代表之一，为回应21世纪社会变革对于中小学生综合能力发展的时代要求，开展了以“共通能力”(general capabilities)培养为主线的综合课程改革运动，呈现出包含科内整合、科际相关课程(correlated curriculum)与主题课程的系统化推进形式，将跨学科思维贯穿于课程内容的设计和实施上，其能为我国设计与开展跨学科教育提供诸多宝贵经验与借鉴[3].

《澳大利亚数学课程》(《The Australian Curriculum Mathematics》，以下简称《ACM》)在课程目标中就明确指出：“认识到数学领域与其他学科之间的联系，并将数学视为一门易于学习的愉快学科”“数学旨在确保学生成为自信的、富有创造力的使用者和交流者”[4].数学教科书作为课程标准的具体表现形式，也是教师教与学生学的重要载体之一.由此可见，数学教科书应如何设置跨学科内容以实现上述目标将成为一个值得关注的问题.因此，本文基于STEAM教育理念的视角，分析跨学科内容在澳大利亚初中数学教科书中的呈现情况，探讨其如何有效地促进学校数学教学的多样化叙事，以此提升学生的数学创造力及跨界性思维，以期为我国数学教科书编写者合理设置跨学科内容及数学教师利用跨学科内容实施数学教学提供启示与借鉴.

1 研究对象与分析框架

1.1 研究对象

由于澳大利亚实行“一纲多本”的教育政策，所以本研究以《ACM》为指南，选择在澳大利亚使用较为广泛的Pearson出版集团出版的《Pearson Mathematics 7—10》(以下简称《PM》)[5]7年级数学教科书作为研究对象.根据澳大利亚数学课程标准，初中数学由数与代数、测量与几何、统计与概率三大领域构成.在数与代数领域，7年级的学生学习非负整数、整数、分数、小数、百分比、比例、代数和线性方程组等内容；在测量与几何领域，7年级的学生学习测量、角度、形状、转化和可视化等内容；在统计与概率领域，7年级的学生学习数据收集、概率、样本空间等内容.

1.2 分析框架

通过梳理现有的跨学科内容分析框架发现，研究者聚焦于呈现位置、分布领域、设置目的等功能性的横向分析指标[6-7]，而未纵深剖析跨学科内容的内在逻辑结构，即科际间的融合程度和方式，导致无法真正厘清其设计脉络，不利于助推实质性融合的发生.因此，本文旨在针对此方面实现突破和创新，基于STEAM教育理念建立了由来源维度和类型维度构成的跨学科内容分析框架.其中，来源维度借鉴美国弗吉尼亚理工大学格雷特·亚克曼(Georgette Yakman)教授提出的STEAM教育框架——ST∑@M金字塔[8]，具体含义如表1所示(由于研究的主体学科是数学，所以不再描述数学类内容).类型维度则是借鉴罗宾·福格蒂(Robin Fogarty)提出的跨学科整合类型[9]，将其应用于对数学教科书中跨学科内容的分析，并对5种类型进行补充描述、举例说明，以便突出数学学科的学科特征.具体含义如表2所示.

表1 跨学科内容的来源维度

表2 跨学科内容的类型维度

在跨学科内容的类型维度中，5个子类对跨学科内容的运用水平不断加深.其中，并列型和共享型的区别在于:在并列型中,2个学科的内容按先后顺序交付给学习者，学生必须自己完成将给定学习材料进行整合的过程;但在共享型中，2个学科内容同时且均匀地交付，学科之间的整合基于共享的学习内容.

此外，需要说明的是，在统计过程中，以跨学科元素与教材中设置的活动为共同的分析单元，即当一个教学活动中涉及多种学科来源或跨学科类型时分别计数，同时当一个跨学科元素出现在不同活动时也分别计数.例如，“要求写出弹簧测力计、量杯等器具上箭头指向的小数值”，则统计时分别在物理学和化学学科的相关个数上都加“1”，即在科学(S)领域增加2个计数单位.此外，若教科书中插图与相应文本主题相关，或是教科书所设定的人物角色时，该插图不作统计.

2 研究结果与统计分析

2.1 跨学科内容的来源维度分析

从来源维度分析(见表3)，《PM》教科书实现了数学与科学(18.86%)、技术(25.48%)、工程(9.02%)、艺术(46.64%)的结合，涉及学科范围较广，总体分布较为均衡.譬如，在科学领域，介绍珠穆朗玛峰和夏威夷岛上的冒纳凯阿火山(Mauna Kea)的相关背景，根据不同的基准线计算二者的高度，在地球科学的情境中掌握解决混合整数计算问题的方法；利用物理学中电流(I)和电压(V)的关系、摄氏度和华氏度的转化问题来阐述数学中的公式及代换.在技术领域，设置了专门的“Technology Exploration”版块，学习Excel处理数据以简化问题、借助GeoGebra软件生成可视化图形，感受几何直观和信息技术的密切关联；通过分析折线图来了解墨尔本市的水坝蓄水量、判断不同类型的水池盖对水温的影响，激发学生思考水资源储存与损耗等能源问题.在工程领域，介绍历史上比萨斜塔的建造及修缮过程，引导学生思考其倾斜程度加大将会造成的现实问题，凸显几何学中的角度在建筑设计中的重要作用；穿插环境工程背景，要求学生分析各种家庭垃圾的占比，以当下举世关注的垃圾分类主题唤起学生的环境保护意识.在艺术领域，以数学史为载体，通过介绍印度、罗马、中国等世界上不同国家的数字体系，了解阿拉伯数字的真正起源，在差异中体验数学学科中多元文化的碰撞与交融；欣赏故宫博物院、旋转机器人等图片，直观感受反射对称、旋转对称所带来的视觉冲击，并借助极具神秘色彩的对称字(字母对称、数字对称、网格对称)、设计“冰雪标志”(snow logo)等活动，给予学生动手实操的机会，提升课堂的参与感.

表3 跨学科内容中来源维度的分布情况 单位：%

从表3的统计数据中不难发现，数学和艺术的结合占比最高，表明《PM》教科书并没有简单局限于数学与一些经典理工科科目的结合，也重视形体、历史、哲学等艺术门类内容对学生的熏陶.除了数学学科所能赋予的理性精神之外，教科书也希望克服数学课程与教学过于封闭、碎片化的倾向，而应更具开放的特点，通过数学与艺术的融合达到提升学生的创造力和综合能力的目的.同时，在如今信息技术高度发达的社会，教科书也顺应了学生所处的时代特征，设置了较多数学和技术融合的内容，并注重引导学生合理利用技术解决贴近生活的实际问题，而不是走马观花式的介绍.科学和工程领域的内容对7年级学生来说具有一定难度，故所占比例较少.

从三大主题分布来看，数与代数版块中跨学科内容的占比高达54.34%，统计与概率和测量与几何版块相差不大，分别占25.75%和19.91%.究其原因，必然与7年级内容中每个主题所包含的章节数量有所关联.其中，数与代数领域共包含了6个单元，测量与几何领域包含了3个单元，统计与概率包含了1个单元.相较于测量与几何领域，统计与概率领域的内容往往基于实际问题情境，和日常生活的关联更为密切，故虽只有1个单元，却涉及了较多的跨学科内容.但细究发现，《PM》教科书中通常只是单学科领域结合，多领域结合的案例屈指可数.此外，同一学科下的主题内容也较为单一，例如在代数章节接连多题均展示了水资源短缺主题，在统计与概率版块中高频出现了运动项目主题.根据相关研究，我国的初中教科书也存在同样的问题：人教版中地球科学所占比例较多，但多数都与气温有关;上教版中计算机科学技术所占比例较多，但其中多数是关于计算器的使用，很少涉及计算机等其他信息技术的使用[10].诚然，学科和主题的单一性虽有利于知识点的巩固，但也会对学生形成错误导向，使其错失对数学实际意义及价值的理解.

2.2 跨学科内容的类型维度分析

2.2.1 并列型

从类型维度分析，《PM》教科书中涉及的跨学科类型是丰富多样的(见表4).其中，并列型(75.01%)在数学教科书中的使用率最高.除去纯数学语言问题，各章节的正文及课后习题都会结合其他学科内容构造一定的情境，大部分均以并列型的方式呈现，符合数学教科书的基本特点.诚然，并列型的流行能够保证数学教科书的常规性，而没有为了实现所谓的“跨学科”而刻意猎奇以追求“标新立异”，应是经过筛选的、具有目标导向的、有价值的参与.总体而言，《PM》教科书中涉及的大部分并列型跨学科内容无可厚非，但部分尚有值得改进的空间，以达到充分发散学生思维的目的.譬如，在“通过加减法简化表达式”小节末的“Outside the Square”版块中，引入了拉丁方阵这一概念，并用问题引导学生填充4×4的拉丁方阵.通过介绍奇妙的数学原理和成果，有助于激发学生数学学习的兴趣，但是过于关注数学问题的求解，而缺乏对拉丁方阵来源及相关历史背景的介绍，会导致学生无法理解数学是历史意义下的人类实践这一属性.由于教科书中并未介绍与拉丁方阵有关的普鲁士腓特列大帝排列仪仗队的历史背景，不加以说明地突兀引入，从而使学生错失了一个领略数学文化的学习机会.相比之下，在“素数与合数”小节中呈现了埃拉托色尼筛选法(the sieve of Eratosthenes)，不仅介绍了古希腊数学家埃拉托色尼的生平成就，还通过步骤提示引导学生再现数学家成果的产生过程，给予了学生更加真实的切身体验，能够激发更多创造性行为的发生.

表4 跨学科内容中类型维度的分布情况 单位：%

2.2.2 共享型

相较于并列型，共享型的案例基于共通的学习内容，把2个学科进行均匀地交付，仅占5.32%.教科书对该跨学科类型的处理较为简单，不利于促进学生思维模式的创新，多在正文及习题除外的补充板块中呈现.譬如，在代数章节的“Maths Meets Art”专题中，介绍了达·芬奇使用的网格法(grid method)及基于斐波那契螺旋线的三分法(the rules of thirds)，共享了黄金分割这一主题要素，将数学规律与艺术中的视觉美感结合.但是，《PM》教科书引入网格法的概念后，在只改变案例数据的情况下，要求学生用给定方法对画布上的方格大小进行判断.在该案例中，跨学科内容被简单地应用于数据的处理，并没有促进学生对艺术和数学交融的体验感.可见，教科书中共享型的案例可以通过对现有问题的升华及后续问题的增加，以此提供更多培养学生论证推理、问题解决等思维能力及数学创造力的机会.

2.2.3 蜘蛛网型

根据分析框架，蜘蛛网型(7.72%)作为较高级的跨学科类型，涉及2个以上学科领域，围绕单个主题要素组织内容，对学生的整合学习和教师教学提出了较高要求.《PM》教科书充分审视了学科间的内在联系，避免了呈现内容时形成“广而浅”的样态，足以引起学生进行深层次的思考.例如，以下是一个蜘蛛网型的案例:

考虑以下示例，确定2个变量之间是否存在关系，改变一个值是否会导致另一个值的变化：购买巧克力的总块数和总金额；建造房子的数量和所需要的砖块数量；共享一包棒棒糖的学生人数和每人收到的根数；动物园围栏中的动物总数和每个动物的活动空间范围.

该案例以“关系”作为蜘蛛网的中心，结合了建造、经济等内容，阐述了代数的主要用途之一，即描述2个或多个变量之间的关系.此外，在分数章节的“Technology Exploration”版块中，结合神话故事、Word软件的计算功能、折纸演示等方式共同描述了数学中“极限”这一思想，同时拓展了收敛级数等概念，丰富的学科内容及多样的展示形式必能触及学生内心的探索热情.蜘蛛网型的跨学科内容，实则蕴含了知识的整体性，倡导更注重整体、更注重联系的教学.充分利用数学特有的逻辑链，强化对数学本质的真正理解及对知识的整体把握，使数学在知识的内、外关联和融合中真正“活”起来.

2.2.4 连接型和统合型

连接型(11.95%)和统合型(0%)作为对跨学科内容运用水平最高的2种类型，其案例具有较高的参考价值.但是，统合型由于其特性而难以在一个学科的教科书中得以实现，故并未在《PM》教科书中发现相关案例，这也是较为理性的.因为作为数学教科书，数学是核心关键词，首要的功能定位就是发展与传授数学知识和数学思想，需体现数学学科的学科特征.因此，除去统合型的案例，连接型作为高级的跨学科融合类型，占比大于共享型和蜘蛛网型，表明《PM》教科书试图通过连接型跨学科内容独有的属性，培养学生解决现实生活问题的综合能力.

连接型的案例多在教科书的章首、“Maths 4 Real”“Investigation”“Math Space”等版块中出现.譬如，“1瓦特计划”探究活动中，通过所提供的表格数据计算家用电器在使用及待机状况下的耗电量，结合澳大利亚政府出台的“1瓦特计划”，让学生意识到电量消耗之大，并考察家庭用电情况，利用已有的数学知识制定节电方案.该案例与电力领域知识共享了交流、创造性思维等功能，不仅能引起学生对电器高耗电量的思考，树立良好的节电意识，还能通过实践考察制定多样化的方案以缓解现存问题，加强学习成就感；提供“选择最优零用钱协定方案”的真实情境，引导学生利用Excel软件的公式计算功能分析不同方案的利弊并预见更长远的规划，初步体验信息技术所带来的精准和高效；穿插空间科学的背景，设置“如何用数学来发现宇宙中其他智慧生命的存在并与之交流”的问题，从而使学生明白理解数字之间的关系及本质特征(质数、因数、倍数等)有助于我们实现这一愿望；以ATM的PIN码、网上购物及银行业务的密码和信用卡号码的安全系数激疑，探究RSA加密方法，用素数的相关知识破解设置加密信息的奥秘，提高学生在现今互联网时代的信息安全意识；探究超市里相同产品的大小包装的实惠程度；利用图纸设计理想中的家庭后院；列举置办一台晚会的各种开销，权衡开设地点，选择最佳方案等等.可见，除了在我国初中教科书中也较为常见的正文、例题、习题、专栏等版块外，《PM》教科书中专门设置了上述形式丰富的非常规版块，为学生搭建了资源充沛的学习平台.主题呈现多样化的特点，贴近学生的实际生活，符合7年级学生的年龄特征，能广泛引起学生的共鸣.

3 结论与启示

3.1 结 论

3.1.1 学科来源总体分布均衡，尤其重视数学与艺术的结合，但同一学科下的主题内容单一

从上述分析中可知，《PM》教科书在一定程度上重视构建学生丰富的学科知识储备，跨学科内容总体分布均衡.其中，最为注重数学和艺术的融合，占比高达46.64%，其次是技术领域和科学领域，而工程领域与7年级学生的实际生活存在一定距离，故所涉及占比最少.但是，存在同一融合学科下的主题单一的情况，在多个问题中反复出现相同的情境，这一方面确实可以帮助学生在前后连贯呼应的情境中，有意识地进行已学知识间的关联和迁移，但另一方面也说明《PM》教科书中跨学科内容的广度存在一定的局限性，仍有拓宽的空间.

3.1.2 并列型的跨学科内容占主导地位，注重连接型和蜘蛛网型内容的独特价值

在《PM》教科书中，并列型的跨学科内容的数量远超其他4种类型，占据主导地位.并列型中涉及的主题并不改变其学科领域内容，只是以适当的顺序重组而先后传授给学生.其他学科内容多以背景的形式出现，抛开这层外壳并不会对学生的数学知识学习过程产生实质性的影响.这表明，《PM》教科书充分体现了数学学科的基本特征，关注学生对数学基本知识及基本技能的掌握.此外，蜘蛛网型和连接型的跨学科内容虽对教材编订提出了较高的要求，但《PM》教科书注重其独特的价值，除上述的非常规版块外，在章首、正文的“Open-ended”版块中也有所体现.可见，《PM》教科书非常注重通过开放性问题、鲜活的真实情境及人们热议的社会现象，站在数学的角度激发学生的有效思考，提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的综合能力.

3.2 启 示

3.2.1 综合考虑学科来源的内容特点及学生的时代特征，改善不同融合学科的呈现比例

在我国以往的数学课程中，数学与人文领域学科的关联性较弱，但现在的高中数学新课程在这方面已有了耳目一新的表现[11].可见，数学与艺术的融合越来越受到人们的重视，理性思考和感性表达交织的产物正是21世纪人才不可或缺的要素.数学和艺术的跨学科结合对于数学教学的主要价值在于，它能够更大程度地发挥学生的理解力和想象力，使其理解数学例证中的隐含意义.特别是对于那些具备一定知识基础的学生来说，能使他们体会到由人们所赋予数学的，能够使数学具有广泛适用于整个世界的“功力”[12].譬如，“Musical Fractions”专题中，在介绍了音符和分数之间的关系后，教科书可以再增加一个制作“音乐瓶”的环节，即在玻璃瓶中注水形成不同水位，并通过敲击水瓶以发出音调各异的声音.这样不仅可以启发学生挖掘音乐背后蕴藏着的数学思想,还能深入解析“物体振动产生声音”的物理现象，探赜“音乐瓶”的发声原理.整个过程涉及艺术、数学、物理及设计等方面的知识，鼓励了融合思维的产生.此外，面对新时代的初中生，教科书也需不断地捕捉、更新由社会变迁引起的数学跨学科教学的良好素材，合理增加人工智能、数据科学与大数据技术专业等新兴学科及生物医用材料、信息安全技术等高新技术学科的跨学科内容，不仅能为教科书补充新鲜素材，同时也能解决同一融合学科下主题单一的问题.故在我国教科书编订时，需要综合考虑学科来源的内容特点及学生的时代特征，适当增强数学与艺术、新兴学科及高新技术学科的融合，改善不同融合学科的呈现比例，以此发挥数学教科书中跨学科内容的最大效用.

3.2.2 重视蜘蛛网型与连接型跨学科内容对学生数学创造力培养的作用，注意凸显数学本质

在我国的中小学数学教学过程中，人们常常会因为过于强调数学的内在逻辑性、严密性、确定性，而忽视了数学的创造性.然而，数学创造力正是推动数学发展的原动力，可以通过问题提出和问题解决2个方面的行为表现来刻画学生的数学创造力的特征[13].此外，《义务教育数学课程标准(2011年版)》在课程目标中也提到：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”[14]这表明，独特性和新颖性是数学创造力内涵的基本表现.

根据上述分析可知，蜘蛛网型的跨学科内容站在全局、整体的视角，围绕诸如函数关系、极限等单一主题，重新组织各种来源于不同学科的内容，以此使学生对所学知识有一个整体把握，激发其敏锐的观察力，从而源源不断地立足于新的视角提出新的问题,并加以解决.连接型的跨学科内容更是通过联结不同学科，强化了思维技能、社交技能和学习技能之间的联系，为学生提供了一个参与式数学学习的环境.这不仅仅是简单地使用数学思维来解决问题，还意味着这是一种改变实际生活的数学，通过参与复杂多变的现实生活情境来体验数学与其他学科交融的力量.可见，蜘蛛网型和连接型的跨学科内容均能实现对学生数学创造力的促进作用.教科书可以参考蜘蛛网型、连接型案例的设计模式，对其他类型的案例进行改进，以支持学生发展高级的认知水平及思维能力.但同时也要注意在不过多增加负担和影响学生认知发展规律的前提下，保证各跨学科类型案例的均衡分布.

当然，值得注意的是，教科书应重视阐释数学本质的跨学科内容，切忌简单、生造.跨界不是不要界，这个“界”就是数学的思想，是数学概念、原理等的本质意义.在运用跨学科思维时要注意处理好几个关系：边界跨越，本质不变，处理好“变”与“不变”的关系；多向发散，问题聚焦，处理好多样性和同一性的关系；“跨”得出，还要“回”得来，处理好模式抽象性与多学科情境具体性的双向贯通的关系.

3.2.3 提升数学教师的跨学科思维及辨析教材的能力

教师作为教材教学活动的实践者，教育理念的落实者，需要敏锐地感知到学科融合将是未来教育改革的大趋势.因此，及时树立正确的跨学科思维就显得尤为重要.在教学过程中，重要的是以学生的思维特征为基点，用自然和谐的方式进行衔接并延展启发性问题，这样才能引导学生以主人翁的身份进行创造性思考.譬如，在整数章节的一道课后习题中，要求学生利用给定的一串整数，编写一个小故事来描述电脑技术员谢里夫(Sharif)一天的工作经历.教师可借助教科书提供的现有素材，实现教学创新.如若将故事中的虚拟人物换成是学生自己，则更能拉近数学与生活的距离.学生会思考自己在诸如教室等场合的独特经历，比如，在班级大扫除情境下，统计教室中的物品数量并与所给数字对应起来，思考其数量的合理性.这样的主题允许进一步讨论学校该如何大规模购买设施且避免造成浪费，从而自然而然地与环境保护问题联系起来.在实现了多学科自然交融的同时，也促进了对学生发散思维的培养.因此，为了达到数学课堂中跨学科教学的效果，应赋予教师大量专业的STEAM教育等跨学科教学的师资培训机会，改进现有的教学方式，还可以通过STEAM教育主题课程的构建，实现数学知识与其他学科内容的共性融合，为学生的终身发展奠基创造力素养.