刘乔乔, 赵华新

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

算子半群的紧性是算子半群理论的重要内容之一,许多学者对此作了大量的研究工作。文献[1-2]得到双参数C0半群紧的一些性质以及扰动双参数C0半群的直接紧性等相关性质。 文献[3-4]讨论了非线性Lipschitz扰动半群的直接紧性、拟紧性等。 文献[5-7]研究了C半群、双参数C半群、多参数C半群的紧性,将单参数的紧性推广到多参数C半群。 文献[8-10]讨论了扰动C半群及扰动双参数C半群的紧性及相关推论。 文献[11-16]给出了n阶α次积分C半群,以及双参数n阶α次积分C半群的相关性质,但对其紧性并未作研究,本文给出n阶α次积分C半群紧的定义,得到指数有界n阶α次积分C半群的一些紧性性质,推广了算子半群紧性的相关性质。

1 预备知识

X为无限维的复Banach空间,B(X)是X上有界线性算子全体所组成的Banach代数;T(t)∈B(X),t≥0,D(A)为线性算子A的定义域,设n∈,α≥0,

易知T(t)=0当且仅当存在n>0,使JnT(t)=0,t≥0。

2 基本概念和引理

定义1[11]设n∈,α≥0,C∈B(X)是单射,{T(t)}t ≥0⊂B(X)强连续,若存在闭线性算子A使得

定义2[12]若Rc(λ,A)=λn -1(λn-A)-1C有定义在Banach空间X上的有界逆算子,则称λ为n阶α次积分C半群的次生成元A的正则点,Rc(λ,A)为A的C预解式,正则点的全体称为A的C预解集,记为ρc(A)。

引理1[12]令n∈,α≥0,C∈B(X)是单射,A:D(A)⊂X→X为闭线性算子并满足A⊂C-1AC,{T(t)}t ≥0⊂B(X)强连续并满足‖T(t)‖≤Meω t,t≥0,ω≥0,M>0,可得下列命题等价。

ⅰ)n阶α次积分C半群{T(t)}t ≥0的次生成元为A。

ⅱ) {λn|Reλ>max{ω,0}}⊂ρc(A),并满足

ⅲ) {λn|λ>max{ω,0}}⊂ρc(A),并满足

引理2[12]令A:D(A)→X是n阶α次积分C半群的次生成元,λ,μ∈ρc(A),Rc(λ,A)为A的C预解式,则有:

Rc(λ,A)λ1-nC-Rc(μ,A)μ1-nC=Rc(λ,A)Rc(μ,A)(μn-λn)λ1-nμ1-n。

定义3 若n阶α次积分C半群{T(t)}t ≥0对每一t>t0,算子T(t)紧,则称n阶α次积分C半群{T(t)}t ≥0对t>t0紧。 若对每一t>0,算子T(t)紧,则称n阶α次积分C半群{T(t)}t ≥0为紧。

3 主要结果

定理1 设{T(t)}t ≥0是指数有界n阶α次积分C半群,若T(t)对t>t0是紧的,则对t>t0,T(t)依一致算子拓扑连续。

证明 对0≤t≤1,∃M≥1,使得‖T(t)‖≤M。

又因为对∀x∈X,T(t)x:[0,+∞)→X强连续,所以存在0

从而对于0≤h≤h0,‖x‖≤1有:

则有

由ε的任意性知T(t)在t>t0处依一致算子拓扑连续。

证毕。

定理2 设{T(t)}t ≥0是以A为次生成元的指数有界n阶α次积分C半群,若{T(t)}t ≥0对t>0是紧的,则T(t)对t>0依一致算子拓扑连续且对λ∈ρc(A),有Rc(λ,A)紧。

证明 设‖T(t)‖≤Meω t,M≥1,ω≥0,T(t)对t>0紧。 由定理1知T(t)对t>0按一致算子拓扑连续,所以

以一致算子拓扑存在。

设Reλ>ω,令:

因为T(s)紧,所以Rε(λ)也是紧的。

从而有

当ε→0+时,|λ|αεMeω ε,即‖Rc(λ,A)-Rε(λ)‖→0。

所以Rc(λ,A)作为紧算子列的一致极限也是紧的。

由预解方程

Rc(λ,A)λ1-nC-Rc(μ,A)μ1-nC=Rc(λ,A)Rc(μ,A)(μn-λn)λ1-nμ1-n,

可知:若对某一λ∈ρc(A),Rc(λ,A)紧,则对所有λ∈ρc(A),Rc(λ,A)紧。

证毕。

定理3 设{T(t)}t ≥0是指数有界n阶α次积分C半群,若T(t)对t>0按一致算子拓扑连续,且对λ∈ρc(A),有Rc(λ,A)紧,则指数有界n阶α次积分C半群{T(t)}t ≥0是紧的。

对上式两边取范数得:

当Reλ→∞时,

且

所以有

即λ1-αRc(λ,A)→T(t)。

又由于Rc(λ,A)是紧的,所以λ1-αRc(λ,A)也是紧的。T(t)是紧算子族λ1-αRc(λ,A)的一致算子拓扑的极限,所以T(t)也是紧的。

证毕。

4 结 论

若A次生成的n阶α次积分C半群{T(t)}t ≥0紧,则得到{T(t)}t ≥0依一致算子拓扑连续且预解集也为紧的,反之也成立,从而完善了n阶α次积分C半群的相关性质,丰富了算子半群的研究内容。