南京师范大学附属中学 (210003) 孙风建 孙居国

培养学生的数学核心素养，仅关注事实性结论或解题技巧是远远不够的，如果学生能学会对问题的深度思考，便可经历从猜测到验证、从局部到整体、从现象到本质的思维过程，使碎片化的知识更加系统化.如何见微知著，形成逻辑严密的整体性思维，进而实现深度思考值得研究.本文以“数量积几何意义”的探究经历示例说明.

1 “见”形，“知”数，“思”意义

图1

引进向量坐标，用代数的方法即解析法解决几何问题，这是解决向量问题的重要方法，但求解之后不禁要问：

2 “见”交点，“知”最值，“思”射影

提出问题相当于启动了探索的新路径，如果提出的问题有深度，就需要分步探究如何解决.因为对结果的未知，尝试的方案需要持续的试探、调整、论证甚至推翻重建, 但这是这样一个迭代优化的过程才让火热的思考发生，探究才会真正深入，思维才有可能达到新的高度.

对于问题1，易想到点P会不会是AB连线和直线OM的交点，但验证不成立.于是想到会不会与点A和点B在直线OM上的射影点有关？

图2

易得当点A、B在直线OM同侧时，结论依然成立(如图3)从而推广本题可以得到以下：

图3

由此可得如下的结论：

3 “见”向量点乘，“知”几何意义，“思”圆的性质

探究2 如图4，在上述问题中以AB为直径作圆G，若圆G与直线OM相交，交点分别记为E、F点，则EF的中点即为CD的中点.

图4 图5 图6

有了上面这的结论，其几何意义的已经十分明朗了.

如图6，以AB为直径作圆G，交直线OM与E、F两点，连BP延长BP交圆G与点K，连AK，则AK⊥KB.

4 “见”结构良好，“知”结构不良，“思”一般结论

当结构良好的问题逐步解决后，是否可能变换已知条件，从而使已生成的结论部分成立，甚至不再成立，探究新条件下的解答会让问题更具挑战，简单的方法模仿或单一维度的思考已经很难解决新问题，这也进一步促进了思考的深入.

拓展思考如果以AB为直径的圆与直线OM没有交点怎么办？即如果点A、B在直线OM的同侧，那么其几何意义是什么？

图7 图8

这些结论，体现了数学的统一性.到此，通过归纳猜想、验证，圆满地解决了平面上两定点A、B与一条直线上动点P构成的向量的数量积的最小值以及其几何意义，当让点如果点A、B是定圆的动直径的两个端点，结论依然成立.

5 “见”直线，“知”曲线，“思”解析几何

以上探究仍让人有点意犹未尽的感觉，不仅心存疑惑.

如果点M不在定直线上运动，而在曲线上运动，如圆、或圆锥曲线上(或函数图象)，又会有怎样的结论？

图9 图10 图11

其他位置关系，请读者自行研究.

探究4 当点P在椭圆和双曲线以及抛物线上运动时，如图12—14，结论如下：

图12 图13 图14

其它情形，大家可以自行研究.

6 “见”静止，“知”运动，“思”轨迹

图15 图16 图17

7 结语

整个探究，沿着“提出问题到取得最值的位置探究，再到几何意义追寻，变换动点的轨迹后再探几何意义，最后回到直线，让直线动起来后探寻最值点的轨迹”这一思考路径进行.思维外显便于师生更高层面的思维互动，深化对数量积以及几何意义、圆幂定理、轨迹方程等概念的理解，螺旋推进，最终实现对问题本质(定点AB中点G到动点P所在直线或曲线的最近的点)的探寻.

“见”形“知”数“思”轨迹，“见”结构良好而“知”结构不良，“思”一般结论的过程，依靠逻辑推理能力的支撑，学生逐步看清问题本质、突破难点，实现深度探究，完成从特殊向一般的数学抽象,实现深度学习.学生能关注知识广度和深度的同时，充分理解知识间的关联度， 清晰地感受知识间的逻辑关联，将碎片化的知识体系化, 提升数学“整体观”.创造条件让学生经历提出问题、分析问题、解决问题的过程，真切感受“冰冷”的数学结论里所掩藏的“火热”思考，帮助学生实现 “四基”、“四能”向数学核心素养的发展.