由递推式求数列的通项公式问题通常较为复杂.要想顺利求得数列的通项公式，需将递推式进行合理的变形，将问题转化为常规的等差、等比、常数列或易于求解的数列通项公式问题.待定系数法是解答此类问题的有效方法之一.运用待定系数求数列的通项公式，需根据递推式的结构特征引入恰当的待定系数，设出与递推式结构类似的式子，然后将其变形，通过对比系数建立关于待定系数的方程或方程组，求得待定系数的值，便能将递推式转化为等差、等比数列的通项公式，从而构造出等差、等比、常数列，再根据等差、等比数列的通项公式进行求解，即可顺利求得数列的通项公式.

例1.已知数列an中，a1= 1， an+1 =3an +5 ∙2n +4，求数列an的通项公式.

解：

由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的递推式求数列的通项公式，需灵活运用待定系数法.可先根据递推式确定an 的系数 A，然后引入待定系数x、 y，设递推式为 an +1 +x ∙qn +1 +y =Aan +x ∙qn +y，再将该式变形，使系数对应相等，构建关于x、 y 的方程组，通过解方程组求得x、 y 的值，就可构造等比数列，根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.对于本题，我们可引入待定系数α、β，构造出等比数列an +5×2n +2.

例2.已知数列an满足 a1= 8， an+1 =3an +3n+1 +2，求数列an的通项公式.

解：

因此，数列an的通项公式为 an=n +2∙3n - 1.

对于形如 an+1 =Aan +B ∙An +1 + C 的递推式，可运用待定系数法求数列的通项公式.在确定 A 的值后，需引入待定系数 x，设  =  +mm为常数，将其整理为与递推式的结构一致的式子，比较其系数即可建立关于x 的方程，求得x 的值，就能构造出新就能顺利求得数列的通项公式.

例3.在数列an中， a1= 8， an+1 =2an +4× 3n+1 +2n +1，求数列an的通项公式.

解：令 an +1 +α ∙3n +1 +βn +1+γ =2（an + α?3n +βn +γ），整理得： an +1 =2an - α∙3n +βn +γ -β，

则α =-4，β= 2，γ= 3，

所以an +1 -4× 3n +1 +2n +1+3 =2（an -4× 3n +2n+3），

则数列an -4×3n +2n +3为首项为1，公比为2 的等比数列，因此，数列an的通项公式为 an =4× 3n + 2n -1 -2n -3 .

运用待定系数法由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的递推式求数列的通项公式，往往需引入系数 x、 y、γ ，并设递推式为 an +1 +x ∙qn +1 +y n +1+γ =Aan +x ∙qn +yn +γ，然后根据递推式建立关于系数 x、 y、γ 的方程组，求得x、 y、γ 的值，构造出等比数列an +x ∙qn +yn +γ，再根据等比数列的通项公式求解.

除了上述三种类型的递推式，对于形如 an +2=  Aan+1 +Ban 、an+1 =Aan +B ∙An +1 + Cn +D 的递推式，也可采用待定系数法求数列的通项公式.在引入待定系数时，要先仔细观察递推式的结构特征，设出能构造出常规数列的式子，同时要引入尽量少的待定系数，这样能减少运算量.

（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）