朱琳

不等式证明题侧重于考查同学们的逻辑推理综合分析能力.对于一些含有指数、对数、幂函数的不等式证明题，采用常规的分析法、反证法、数学归纳法等很难使问题获解，而巧用导数法，能快速证明结论.运用导数法证明不等式的主要步骤如下：

1.采用合适的方式，如移项、通分、合并同类项、因式分解、分离参数等将不等式进行适当的变形;

2.根据不等式的结构特征构造函数，可将不等式一边的式子构造成函数，也可将不等式的某一部分构造成函数;

3.对函数求导，分析导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性.若 f ′（x）> 0 ，则函数在区间上单调递增;若 f ′（x）< 0 ，则函数在区间上单调递减;

4.根据极值点的定义判断出极大值点、极小值点;

5.在極值点处求得函数的最值，得出证明不等式恒成立的结论.

例1.已知 x ∈æèöø 0， π2 ，求证：4x2 π2 < 1 - cos x < x2 2 .

证明：成立.

解答本题，需通过三次求导来证明结论.首先将右侧的不等式移项，构造出函数 f （x） ，通过分析导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性，进而证明右侧的不等式成立.然后再证明左侧的不等式，根据该不等式的结构特征，构造出两个函数 g（x） 、h（x） ，通过二次求导求得 g（x） 的最小值，进而证明 4x2 π2 < 1 - cos x 成立.

例2.证明：当 x > 0 时， x· ln x ≥ -2e-1 .

证明：

我们先将不等式移项，然后构造函数 f （x） ，求得导函数的零点，分析导函数与0之间的关系，从而判断出函数的单调性，由此确定函数的极小值，即在定义域内的最小值，从而证明不等式成立.

运用导数法证明不等式，主要思路是通过构造函数，将不等式证明问题转化为函数最值问题来求解.常见的转化方式有：（1）将 f （x1）> g（x2） 转化为 f （x1）max > g（x2）max ;（2）将f（x）≥a转化为 f （x）min ≥ a ;（3）将 f （x） ≤ a 恒成立转化为 f （x）max ≤ a ;（3）将 f （x）> g（x） 恒成立转化为F（x）= f （x）- g（x） ，F（x）min >0 ;等等.在解题时，需严格按照上述步骤，研究导函数，判断出函数的单调性，求得函数的最值，从而证明结论.

（作者单位：江苏省怀仁中学）