将方程思想熔铸到天平模型中

2022-04-07江苏无锡市峰影小学214000王金锋

小学教学参考 2022年5期

江苏无锡市峰影小学（214000）王金锋

方程的教学重点是指导学生深入理解并牢固掌握等式的结构，领悟含有未知数的等式是方程的深刻含义；教学难点是引导学生搭建方程的基本模型，渗透设未知数列方程解应用题的解题思想。同时，本课教学还担负着培养学生观察、对比、思索与解析等各方面的能力，以及训练学生思维的灵敏度和思路的变通性的重要任务。

一、回顾，感知平衡

师：大家还能记起游乐园里的场景吗？老师收集了一些儿童乐园的照片，一起来回顾吧！（PPT 展示：各种娱乐器材上孩童玩耍的身影）

师：照片中哪类游戏人气最高？

生1：玩跷跷板的人最多。有两人组，有四人组，还有三人组……

师：哦！原来人数可多可少，那你发现什么有意思的现象了吗？

生2：跷跷板有的两头一样高，有的一头高一头低。

师：跷跷板真吸引人，现在请一位同学和我一起体验。

师：你的体重是多少？

生3：28千克。

师：我的体重是80 千克，请大家猜想一下，我和生3坐跷跷板是怎样一幅场景？

生4：一定是生3坐的那端高高翘起来，老师坐的这端下沉落地，而且跷跷板根本无法上下来回晃动。

师：我们设法将跷跷板调节到平衡状态，并尝试用数学算式来解决这个问题。

生5：学生这边需要增加2 人，只要新增的2 人的体重加起来达到52 千克即可，因为28+52=80（千克）。

师：需要保持平衡的不单单是跷跷板，生活中还存在其他类似的事物和原理。你首先会想到什么？（引导学生说出天平）

【设计意图：基于学生的生活经验，并以他们喜闻乐见而且熟知的事物为教学素材，让学生通过提取自身的运动体验来感受平衡现象，在观察中领悟平衡的效应，并在师生互动中思考并弄清平衡的科学原理。如此设计，一方面为了消弭疏离感，让学生兴趣盎然地探究问题，热切地去观察、思考、议论，从而开阔眼界，顺理成章地将生活中的平衡与数学中的等式搭建起联系，让数学学习变得充满生活味，更贴近现实；另一方面也能激发学生的潜力，将学生的操作技能、生活经验同步激活，诱使学生不断反思追问，从生活经验中去勘探和提取数学理论，为后续解释“平衡”铺好台阶。

方程的本质就是等式，等式可以用天平来模拟，但是这种模拟如果一开始就由教师提出来，那么学生就会丧失探究的主动性。因为天平是学生生活中很少接触的计量工具，再加上天平本身也不是一种数学常用工具，学生对它缺乏基本的了解和认知。可见，直接引出天平则起点高、坡度大。要降低起点、放缓坡度，就为初级模型天平造一个更低端的现实模型——跷跷板，跷跷板是一种常见的生活素材，学生玩得多，也很了解，生活经验可以直接转换为数学活动经验，从跷跷板的表征中抽象出天平模型，再从天平中抽象出方程，拾级而上，稳扎稳打，最终摘到方程这一“果子”。】

二、实践，领悟平衡

1.活动，体验平衡

师：通过摆开天平，你有什么切身感受？

生：天平左右两边不等重时，天平倾斜；左右两边等重时，天平平衡。

师：没错！天平时而平衡，时而倾斜。假若平衡，你能用数学式子表示吗？（学生展示本组活动记录，汇报算式：10克+10克=20克，20克+30克=50克……）

2.辨析，明晰平衡

师：你觉得这些式子都能客观地反映平衡状态吗？它们都有哪些相同之处？

（学生重新审读式子，发现里面都含有“等号”；式子左右两边的绝对值相等）

师：能用同样的方法运用新符号来表示左右两边不等的式子吗？

（学生小组合作探究，试图写出不等式）

【设计意图：以操作活动为媒介，将数学学习融入操作活动中，一方面引导学生思考如何让天平平衡，并通过观察平衡情境写出数学等式，这样不仅能丰富学生认知，更能将平衡与等式联系起来，而且还能引导学生从生活化思考转向数学化思考：天平平衡代表什么？等式又代表什么？让活动与思考相互渗透。另外，学生通过尝试用新式子（不等式）表达不平衡状态，认识到式子并非都是等式，也有不等式。平衡与倾斜的对比，强化了等式与不等式的对比，从而烘托出等式的特性，帮助学生建立天平与等式的联系，形成扎实的记忆。整个活动丰富了学生的学习体验，激活了学生的思维，更是建立了真实可信的表象工具——天平。

跷跷板的平衡经验经过巧妙转化，变身为天平的平衡经验，学生将天平想象成简易的跷跷板，两边的人被抽象成重物，学生在天平上通过放置重物调整平衡、体验平衡，而且还可以用简练的数学式表达，这样基本就达到了等式的基本形态。学生在体验中总结平衡的规律，发现平衡的现象放到式子里就是等式，等号就代表平衡，而等号的两边就相当于天平的左右两盘，等号两边的数字就相当于放在两盘中的重物，天平平衡代表等式。那么据此进行延伸，天平也可以不平衡，也就是倾斜，由此可以类推出一个式子——不等式，而倾斜又分为向左倾斜和向右倾斜，据此又可以类推出用“＞”和“＜”连接不等式。如此一来，等式和不等式就被同一个模型——天平“创造”出来了。】

三、探究，理解方程

1.借助天平，创设未知数

师：老师手里也有一组天平，你能根据已经掌握的知识尝试写出等式或者不等式吗？

课件出示：

（学生依据情境图，写出相应的式子：①x+50＞100；②x+50=150；③x+50＜200；④x+x=200 或 2x=200）

师：请说出这些式子的由来。

（学生交流展示自己的想法）

【设计意图：再次请出天平这个工具，利用学生熟知的环境来引出未知数。同时，利用4 组天平图拓宽了学生的知识面，为引入未知数消除了障碍，并从学生熟悉的平衡、不平衡中，将未知数不露声色地编入其中，毫无违和感。】

2.比较式子，引出方程

师：观察根据图1写出的新的4个式子，与之前的对比，看看有没有新的发现。

图1

生1：前面的式子只含有数字，新的4 个式子却含有字母x。

生2：前面的式子都有具体的数值，而后面的4个式子却不确定。

生3：式子中的x是不知道的数，因此叫作未知数。

师：请查阅资料或者组内讨论，看看“未知数”为何物。

（学生查资料并讨论）

师：这4 个式子尽管都包含了未知数，但是否就意味着它们是一样的性质？

生4：不一样，①③两个式子是用大于号和小于号连接起来的，而②④两个式子是用等号连接起来的。

生5：像①③这样用不等号连接起来的式子叫作不等式，像②④这样用等号连接起来的式子叫作等式。

生6：像②④这样的式子还可以叫作方程。

师：是的，像这样含有未知数的等式又称作方程。

【设计意图：再次回归天平这一模型，将其用足用活。用天平来表征不等式和等式，等式中又分为含有未知数的和不含未知数的，不等式中也分为含有未知数和不含未知数的，这样，筛选方程的样本大大扩充，辨别难度也大大提高，虽然迷惑性更大，但是却可以突出方程的多层属性，即方程首先属于等式，然后属于等式里含有未知数的那一类。】

3.解读式子，领悟方程的意义

师：刚才有同学用到了一个新词“方程”，究竟何为方程呢？

生1：含有字母的式子。

生2：必须是等式才行。

生3：都不对！像A+B=B+A就不算方程。

师：那么方程到底是何方神圣呢？

生4：必须和②④类似，同时满足“是等式”和“含有未知数x”才行。

生5：我觉得只要有未知数就行，不一定非要是x，即使像（）+2=5这样的式子也应算作方程。

生6：我同意。如a+8=10，b-25=56也是方程。

师：经过辩论，大家明确了什么？

生7：方程一定属于等式，但是等式未必属于方程，如1+2=3，因为里面不含有未知数。

生8：方程中必然含有尚未知晓的未知数，但并不一定是字母x。

生9：方程就是含有未知数的特殊等式。

师：你能自己编写一道方程吗？

（学生自主“编程”，并在组内讨论，随后教师展示学生作业，确定方程通用定义。）

【设计意图：当学生能够从纷繁复杂的式子中准确识别方程后，教师让学生根据之前筛选方程的经验和经历，准确概括出方程的定义；然后又通过对照辨析，让学生加深对方程的认识，弄清方程与等式的从属关系，方程中字母的设定可以不受限，只要其为未知数即可，方程中出现的字母准确来说就是未知数，这个未知数与原来算式中代表空缺的“□”和“○”并无区别，例如“□+3=6”，本质上也是方程。这样，学生对方程中的“未知数”“等式”等限定词语有了更加全面、完整的认识和新的更高层次的理解。

经历等式、不等式的对比辨析，慢慢揭示方程的本质，一方面能让学生分清等式与不等式，另一方面还让学生发现这些式子都包含字母x，并接受未知数的加入，把等式、未知数两个概念融合成方程概念。同时，让学生“编写方程”，更是体现了数学学习的自主选择性，让学生接触到最真实的知识面貌。】

四、引用，深化理解

1.审读式子，归类

（1）4+3y=10；（2）6+2a；（3）17-8=9；

（4）7-b＞3；（5）8x=0；（6）18÷a=2；

（7）3y+2x=15；（8）4×80=2x-60。

上述8 个式子中，属于不等式的有（），属于等式的有（），属于方程的有（）。

2.判断正误

（1）等式都是方程。（）

（2）□÷8=8是一个方程。（）

（3）2x=0是一个方程。（）

（4）方程是含有未知数的式子。（）

（5）含有字母的等式叫方程。（）

3.编写式子

（1）100元不够买一件旗袍。

（2）320 元刚好买到4 本《哈利波特》。（尝试用方程表示等量关系）

【设计意图：通过各种形式的演练，学生进一步巩固对方程概念的理解，明确等式、不等式、方程三者之间的勾连，从而真正认识方程、应用方程。三组练习题，第一组目的在于弄清界限，厘清概念的边界；第二组是深层次理解并排除一些迷惑性的条件，加固对方程的已有认知；第三组是灵活运用方程概念来实施概念重构与检验，初步形成方程意识，也为后续列方程解应用题做好准备。】