李玉学 冯励睿 李海云 田玉基

摘要：针对大跨屋盖结构风效应分析理论框架中不同环节相应分析方法众多且未能较好协调统一的问题，以最后环节的等效静力风荷载求解为目标，提出一种考虑风振响应特性的多目标等效静力风荷载实用分析方法。基于脉动风振背景响应、共振响应及其耦合项组合结果，利用LRC法基本原理推导构造多目标等效方程的基本向量，实现与脉动风振响应完全协调对应，且能够再现风振响应特性，采用最小二乘法求解等效方程，得到多目标等效静力风荷载;引入应变能概念，考虑结构所有节点响应，根据三分量各响应应变能对总响应能变能的贡献，定义响应分量贡献系数，据此系数进行大跨屋盖结构脉动风振响应特性类型判定，在此基础上，根据风振响应特性类型判定结果，精准构造多目标等效方程并进行最小二乘数值求解，实现多目标等效静力风荷载的高效实用计算。以北京奥林匹克公园网球中心赛场屋盖结构为例，进行风振响应特性类型判定，根据判定结果，计算其多目标等效静力风荷载以及该等效静力风荷载作用下的结构静力响应，并与频域分析所得目标响应进行对比，结果表明：所提方法能够精准高效计算结构多目标等效静力风荷载，具有工程应用价值。

关键词：等效静力风荷载;大跨屋盖结构;多目标;响应类型;三分量响应

中图分类号：TU312+.1;TU393.3

文献标志码：A

文章编号：10044523（2022）01-014008

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.015

引 言

风荷载确定、风振响应分析和风效应静力等效是结构风效应分析理论框架的三个主要环节，针对重要且造型复杂、钝体形态明显的大跨屋盖结构，表面风荷载需要依靠风洞试验确定[1]。围绕风振响应分析和风效应静力等效，国内外学者提出了多种分析方法和处理手段。

对于大跨屋盖结构风振响应分析，通常借助随机振动理论进行，形成了直接求得总响应和分量组合求得总响应两种思路，其中直接求得总响应以模态位移法和模态加速度法为代表，比如，顾明等[2]基于模态位移法编制了大跨屋盖结构风振响应计算程序;方勇等[3]根据模态加速度法基本原理，推导了大跨屋盖结构风振响应计算公式;为了提高计算效率，刘彪等[4]引入谐波激励原理，采用基于风荷载POD分解的Ritz向量代替白由振动模态，计算了深圳国际会展中心标准展厅屋盖风振响应。分量组合求得总响应以Davenport[5]提出的脉动风振背景响应和共振响应概念为基础发展而来，由于其能够较好地反映风荷载作用机理，从而得到了广泛应用并不断发展。比如，田玉基等[6]采用背景响应和共振响应的分量组合法计算了国家体育场屋盖结构位移风振响应。李玉学等[7]基于时域内定义，推导了考虑耦合效应的大跨屋盖结构风振响应背景分量和共振分量实用组合公式。Su等[8]在基准响应基础上，引入背景效应系数和共振效应系数，分别考虑脉动风荷载相关性和动力效应影响，得到了结构背景响应和共振响应。

风效应静力等效是在结构风振响应分析基础上，根据响应等效原则，给出方便设计人员直接使用的等效静力风荷载。主要有单目标等效和多目标等效两种处理手段，其中单目标等效已经趋于成熟，形成了阵风荷载因子法[9]、惯性力法[10-11]以及荷载响应相关法[12-13]等多种分析方法。研究表明，对于风振响应计算需要考虑多阶模态参与的大跨屋盖结构，单目标等效不能较好适用，于是在单目标等效研究基础上，提出了多目标等效处理方法，比如，Tamura等[14]和段曼等[15]根据不同等效目标得到的多组等效静力风荷载，分别采用取平均值与取包络线的处理方法得到多目标等效静力风荷载。Patruno等[16]和罗楠等[17]分别采用本征表皮模态和本征正交模态作为基本向量构造多目标等效静力风荷载。Zhou等[18]在对结构响应分组基础上，采用数值方法得到了各组响应对应的多目标等效静力风荷载。

上述研究成果丰富和完善了大跨屋盖结构风效应分析理论，然而，由于不同环节相应分析方法之间未能较好协调统一，在具体方法选取和操作应用上还没有形成一脉相承，环环相扣的严密体系，设计人员面对众多分析处理方法常常感觉无从下手，给工程应用带来诸多不便，由于方法选取不当，或者造成计算资源浪费，或者使得计算精度不足。

因此，本文以大跨屋盖结构风效应分析理论框架中的最后环节，即等效静力风荷载求解为目标，基于脉动风振背景响应、共振响应及其耦合项组合（下文称为三分量完全组合）分析结果，根据LRC法基本原理分别推导构造多目标等效方程的背景分量、共振分量及其耦合项分量，实现与脉动风振响应各分量的完全协调对应，采用最小二乘法求解等效方程，得到兼顾多响应目标的等效静力风荷载，此等效静力风荷载作用下的结构静力响应在数值上最接近实际目标响应。以此为基础，引入应变能概念，根据三分量各响应应变能对总响应应变能的贡献，对结构脉动风振响应特性进行分类，针对不同响应特性类型结构，建立高效、实用的多目标等效静力风荷载分析体系。

1 三分量目标响应等效静力风荷载

1.1 脉动风振响应三分量

式（3）为脉动风振响应三分量完全组合结果，其中前两项分别为背景分量和共振分量，第三项为背景、共振耦合项分量。

1.2 等效静力风荷载三分量组合

由式（3）可见，结构某一自由度i上的总脉动风振响应包括背景响应、共振响应及其耦合项三部分，按照风效应静力等效的概念[5]，与上述脉动风振响应完全对应的等效静力风荷载也由三部分组成，即：

2 基于最小二乘法的多目标等效静力

风荷载

式（5）表示的三分量等效靜力风荷载，能够保证结构第i自由度上静力响应与脉动风振响应极值相等，如前所述，对于大跨屋盖结构，需要兼顾多个目标响应等效，因此，本节以脉动风振响应三分量等效静力风荷载为基本向量，构造多目标等效静力风荷载方程，并采用最小二乘法对其求解，以得到多目标等效静力风荷载，主要过程为：gzslib202204041713

（1）以式（5）表示的三分量等效静力风荷载为基本向量，构造多目标等效静力风荷载表达式：

（2）根据多目标等效静力风荷载作用下结构静力响应与目标响应极值相等构造等效方程组，并采用最小二乘原理数值求解等效方程组得到组合系数Ci。

式（15）表示的多目标等效静力风荷载，能够保证在该等效静力风荷载作用下，结构静力响应与等效目标的实际动力响应极值误差最小。

3 多目标等效静力风荷载实用分析方法

由第2节基于最小二乘法的多目标等效静力风荷载求解过程可见，该方法的优点在于有效兼顾了结构多个目标响应极值，且构造多目标等效静力风荷载的基本向量Feq，j与结构脉动风振响应三分量直接完全协调对应，具有明确的物理意义。另外，从线性代数向量线性表示原理来看，若选取的基本向量Feq，j合理，则目标响应向量Xq×1在这些基本向量Feq，j上的投影值会很大，这样只需少数几个基本向量Feq，j就可以有效表示多目标等效静力风荷载Feq。对于复杂多样的大跨屋盖结构，其脉动风振响应特性差别较大，即脉动风荷载作用下，背景响应、共振响应及其耦合项三分量对结构总响应贡献程度不同，若能据此分别选取相应的基本向量Feq，j，将会提高多目标等效静力风荷载的计算效率。

3.1 结构脉动风振响应特性类型判定

基于脉动风振响应三分量应变能贡献程度，判定其脉动风振响应特性类型。

3.1.1 背景分量应变能

根据式（2），脉动风荷载在背景响应分量上做功可以表示为：

3.1.4 结构脉动风振响应特性类型判定结果

结构脉动风振总响应应变能由背景、共振及其耦合项响应应变能三部分组成，定义各响应分量的贡献系数ηk，据此综合判定结构脉动风振响应特性类型。

3.2不同类型结构多目标等效静力风荷载

3.1节中将大跨屋盖结构脉动风振响应特性划分为I～Ⅵ类，结合1.2节的分析，分别给出其多目标等效静力风荷载实用分析方法。

对于I类弱耦合柔性结构，共振响应分量占主导地位，背景响应及其背景、共振耦合项可以忽略不计，据此，式（12）构造多目标等效静力风荷载的基本向量只需包括共振分量，即Feq，j=Feq，r，j，同时，式（14）中目标极值响应也只需包括共振分量，即x=grσx，r，j将其代人方程（13），求解组合系数的最小二乘解cj，由式（15）得到其多目标等效静力风荷载。

Ⅱ～Ⅵ类结构也只需对Feq，j和xj进行相应的处理，具体如表2所示，其余过程同I类结构。

4 本文所提方法主要分析步骤

本文所提考虑脉动风振响应特性的大跨屋盖结构多目标等效静力风荷载实用分析方法，主要步骤包括：

（1）首先对大跨屋盖结构进行动力特性分析以及刚性模型测压试验，分别得到结构模态信息以及结构表面风荷载信息，包括各阶模态自振频率、模态分布、阻尼比以及风荷载方差、功率谱等。

（2）根据步骤（l）所得结构动力特性参数和风荷载参数，分别由式（17），（19）和（21）计算得到各响应分量应变能Wb，Wr和Wbr，并代人式（22）计算各响应分量的贡献系数ηb，ηr和ηbr同时确定其误差限εb，εr和εbr，由此误差限及表1综合判定结构脉动风振响应特性类型。

（3）根据步骤（2）大跨屋盖结构脉动风振响应特性类型判定结果，由表2选定多目标等效方程（13）中参数Feq，j和xj的组成形式，据此分别由式（7），（9）和（II）计算需要的等效静力风荷载分量Feq，b，j，Feq，r，j，和Feq，br，j，同时由式（3）计算需要的目标响应σx，b，j，σx，r，j，和σx，br，j，。

（4）将步骤（3）组合得到的Feq，j和x，分别代人方程（13），采用最小二乘法对其求解得到组合系数cj，然后代人式（15）得到相应的多目标等效静力风荷载Feq。

5 算例分析

根据本文所提考虑脉动风振响应特性的大跨屋盖结构多目标等效静力风荷载实用分析方法，以北京奥林匹克公园网球中心赛场屋盖结构为例，对其脉动风振响应特性进行判定，根据判定结果计算其多目标等效静力风荷载，并对所得多目标等效静力风荷载作用下结构静力响应与目标响应进行对比，以检验所提方法的有效性。

5.1 工程概况

北京奥林匹克公园网球中心赛场屋盖由12个“z”形单元组成，形成如“莲花”的环形结构，底部平台高6.0 m，直径79.7 m，结构新颖，造型独特，如图1所示。“z”形屋盖单元挑蓬最高点标高23.0 m，悬挑长度21.6 m，为方便排水，设置约3°的倾角。该屋盖体型特殊，钝体三维绕流特性显著，属于重要且复杂的风敏感结构，需借助风洞试验获取结构风效应分析所需的风荷载。

5.2 模型风洞试验及结构动力特性分析

屋盖模型风洞试验在北京大学力学与工程科学系低速风洞中进行，试验模型按照1：120进行缩尺设计，采用有机玻璃和ABS板制成，具有足够的强度和刚度，满足测压试验要求。根据结构对称性，在第3，4单元上、下表面共布置156个测点，每个测点采样点数为3900，采样频率为400 Hz，试验模拟地面粗糙度为B类，来流风速剖面和湍流度剖面如图2所示（图中Z和Zr分别表示高度和参考点高度;V和Vg分别表示风速和参考点风速;Iu表示湍流度）。测试风向角范围为0°--360°，每隔7.5°采集数据1次，定义正北方向为0°风向角，顺时针增大，其中屋盖风洞试验模型、单元编号、测压点布置及风向角定義如图3所示。

为了获取屋盖结构动力特性信息，建立了结构有限元模型，并进行动力特性分析，根据分析结果，提取屋盖结构前100阶模态信息，包括模态分布和白振频率，图4为屋盖结构前100阶白振频率，可见，该屋盖结构白振频率分布密集，风振响应分析需要考虑多阶模态参振。gzslib202204041713

5.3 结构脉动风振响应特性类型判定及风振响应

计算

如5.2节所述，该屋盖结构风振响应分析需要考虑多阶模态参振，据此，从结构动力特性分析提取的前100阶模态中选取第1，2，4，3，6阶等共17阶为主要参振模态，其中主要参振模态选取方法参见文献[19]。

按照本文所提方法，考虑所选取的17阶主要参振模态，利用0°风向角时屋盖模型风洞测压试验数据，由式（17），（19）和（21），计算得到背景、共振及其耦合项响应分量应变能Wb，Wr和Wbr，并将其代人式（22）计算得到相应的响应分量贡献系数ηb，ηr和ηbr分别为0.416，0.543和0.041，误差限εb，εr和εbr均取0.05，由表1判定该屋盖结构脉动风振响应特性类型为V类，即结构风效应分析只需考虑背景分量和共振分量。

根据该屋盖结构脉动风振响应特性类型判定结果，基于随机振动理论，在频域内由背景响应和共振响应组合得到了脉动风荷载作用下结构竖向位移响应极值，如图5所示。

由图5可见，所选定0°风向角下，该屋盖结构每个单元上的位移响应极值均由悬挑端（内环位置）向边缘区域（外环位置）逐渐减小，其中处于尾流区域的6，7和8号单元挑棚悬挑端处位移响应极值较其他单元更大（来流方向及单元编号如图3所示），最大值达到9 mm，因此，选取结构内环位置处位移响应极值较大的节点为目标响应控制节点，进行该屋盖结构多目标等效静力风荷载计算。

5.4 结构多目标等效静力风荷载计算结果分析

根据图5屋盖结构脉动风振竖向位移响应极值分析结果，选取结构内环位置处48个典型节点为目标响应控制节点（典型控制节点位置及编号见图6），采用本文所提多目标等效静力风荷载计算方法，得到与此目标响应极值等效的多目标等效静力风荷载，如图7所示。

根据图7所示多目标等效静力风荷载求解结果，采用静力方法计算了该多目标等效静力风荷载作用下结构静力响应，同时与基于随机振动理论的频域分析结果（目标响应）进行对比，选取屋盖结构内环位置处48个典型节点的对比结果如图8所示。

由图8可见，根据本文方法所得多目标等效静力风荷载计算的结构静力响应与频域分析所得目标响应总体吻合较好，也有个别响应绝对值较小的节点其误差稍大，比如31号节点，误差为6.35%（以频域所得目标响应为标准），考虑到这些节点响应绝对值相对较小，对结构抗风设计不起控制作用，因此，可以认为本文所得多目标等效静力风荷载能够满足工程应用要求。

6 结 论

本文针对大跨屋盖结构风效应分析理论框架中不同环节相应分析方法众多且未能较好协调统一的问题，以最后环节的等效静力风荷载求解为目标，提出了考虑风振响应特性的多目标等效静力风荷载实用分析方法，主要结论有：

（1）基于脉动风振背景响应、共振响应及其耦合项组合结果，利用LRC法基本原理推导所得构造多目标等效方程的基本向量，不仅能够实现与脉动风振响应完全协调对应，而且能够再现风振响应特性，物理意义明确，采用最小二乘法求解等效方程，能够得到兼顾多个目标响应的等效静力风荷载。

（2）引入应变能概念，考虑结构所有节点响应，根据三分量各响应应变能对总响应应变能的贡献，定义响应分量贡献系数，据此系数可以对大跨屋盖结构风振响应特性类型进行判定。在此基础上，考虑风振响应特性类型，可以实现对多目标等效静力风荷载的高效实用分析。

（3）采用本文所提方法，对北京奥林匹克公园网球中心赛场屋盖结构脉动风振响应特性类型进行判定，根据判定結果，计算其等效静力风荷载以及该等效静力风荷载作用下的结构静力响应，并与频域分析所得目标响应进行对比，结果表明二者总体吻合较好，能够满足工程应用要求。

参考文献：

[1] 中华人民共和国住房和城乡建设部.建筑结构荷载规范：GB 50009-2012[S].北京：中国建筑T业出版社，2012.MOHURD of the People's Republic of China. Loadcode for the design of building structures： （JB 50009-2012[Sl. Beijing： China Architecture and BuildingPress.2012.

[2] 顾明，周暄毅，黄鹏.大跨屋盖结构风致抖振响应研究[J].土木工程学报，2006，39（11）：37-42.

（Ju M. Zhou X Y，Huang P.A study on the windinducedbuffeting responses of largespan roof structures[Jl. China Civil Engineering Journal， 2006.39（ 11）： 37-42.

[3]方勇，倪振华，谢壮宁.模态加速度法在屋盖结构风致响应分析中的应用[J].应用力学学报，2004.21（2）：122-125.

Fang Y， Ni Z H. Xie Z N. Use of modeacceleration solution in response analysis of roof structures[Jl. ChinaJournal of Applied Mechanics， 2004， 21（2）：122-125.

[4] 刘彪，谢壮宁，黄用军，等.基于RitzPOD的谐波激励法及其在大跨悬挑屋盖结构风致响应分析中的应用[J].建筑结构学报，2021，42（4）：7-14.

Liu B，Xie Z N， Huang Y J，et al.RitzPOD based harmonic excitation method and its application in windinduced response of large-span cantilevered roof[J].Jour-nal of Building Structures， 2021 .42（4）：7-14.gzslib202204041714

[5] Davenport A G.（Just loading factors[Jl. Journal of Structural Division， 1967， 93（3）：11-34.

[6] 田玉基，杨庆山.国家体育场屋盖结构的风振响应特点[J].土木工程学报，2010，43（6）：1-7.

Tian Y J，Yang Q S.Characteristics of windinduced responses for Beijing National Stadium[Jl. China CivilEngineering Journal， 2010， 43（6）：1-7.

[7]李玉学，杨庆山，田玉基，等.大跨屋盖风致背景响应和共振响应实用组合方法 [J].振动与冲击 ， 2014， 33（19） ：199 205.

Li Y X. Yang Q S， Tian Y J， et al. Practical combination method for windinduced background response andresponse of large-span roofs [Jl. Journal of Vibrationand Shock， 2014， 33（ 19） ： 199205.

[8]Su N， Peng S T， Hong N N. Analyzing the background and resonant effects of windinduced responseson large-span roofs [Jl. Journal of Wind Engineeringand Ind ustrial Aerodynamics ， 2018 . 183（ 12 ） ： 114-126.

[9]Uematsu Y， Moteki T， Hongo T. Model of wind pressure field on circular flat roofs and its application to loadestimation [Jl. Joumal of Wind Engineering and Indus-trial Aerodynamics ， 2008 ， 96（ 6） ： 1003-1014.

[10]Zhang X T. The current Chinese code on wind loadingand comparative study of wind loading codes [Jl. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，1988，30（1） ： 133-142.

[11]Chen B， Wang K， Chao J Q， et al. Equivalent staticwind loads on single-layer cylindrical steel shells [Jl.Journal of Structural Engineering， 2018， 144 （7） ：04018077.

[12]Kasperski M. Niemann H J. The LRC （loadresponsecorrelation） method ： a general method of estimating un-favorable wind load distributions for linear and nonlinearstructural behavior [ J] . Journal of Wind Engineering andIndustrial Aerodynamics ， 1992 ， 43（ 3） ： 1753-1763.

[13]Cao S S， Ke S T， Zhang W M， et al. Loadresponsecorrelation-based equivalent static wind loads for largecooling towers [ J] . Advances in Structural Engineering ，2019， 22（11）：24642475.

[14]Tamura Y， Kikuchi H， Hibi K. Actual extreme pressure distributions and LRC formula[J].Journal of WindEngineering and Industrial Aerodynamics， 2002， 90（12）：1959-1971.

[15]段曼，倪振華，i身十壮宁.大跨屋盖的包络等效静风荷载[J].振动与冲击，2008，27（9）：6-10.

Duan M， Ni Z H. Xie Z N. Envelope equivalent staticwind load distribution on large roofs[Jl. Journal of Vibration and Shock， 2008， 27（9）： 6-10.

[16]Patruno L， Ricci M. Miranda S， et al. Equivalent staticwind loads： recent developments and analysis of a sus-pended roof[Jl. Engineering Structures. 2017. 148（ 10）：1-10.

[17]罗楠，廖海黎，李明水.大跨屋盖时域多目标等效静力风荷载计算方法[J].工程力学，2013， 30（4）：316321.

Luo N， Liao H L， Li M S.Universal equivalent staticwind loads for long-span roofs in time domain[J].Engineering Mechanics， 2013， 30（4）： 316321.

[18]Zhou X Y， Gu M， Li G. Grouping response method forequivalent static wind loads based on a modified LRCmethod[Jl. Earthquake Engineering and EngineeringVibration， 2012， 11（1）：107-109.

[19]李玉学，杨庆山，田玉基.大跨屋盖结构风振响应主要参振模态确定方法研究[J].计算力学学报，2010，27（6）：1049- 1054.