李鸿晶 王竞雄

（中国南京 211816 南京工业大学工程力学研究所）

引言

谱元法（spectral element method，缩写为SEM）是结合谱方法的高精度配置点和有限元法的分片近似物理场思想而建立起来的，可视其为一种高阶的有限单元法.该方法首先由Patera （1984）针对流体动力学问题提出，目前已在地震波传播（Komatitsch，Vilotte，1998；Komatitsch，Tromp，1999；丁志华等，2014；韩天成等，2020）、结构动力分析（Kudelaet al，2007a，b；Żaket al，2017；Żak，Krawczuk，2018）、海洋声学（Cristini，Komatitsch，2012；Botteroet al，2016）等多个领域得到广泛应用.在处理动力问题时，按照传统有限单元法格式建立的质量特性模型一般为非对角的一致质量矩阵（consistent mass matrix，缩写为CMM）形式，每个时间步均需对CMM 求逆运算和存储，计算量巨大，尤其对于求解诸如冲击、爆炸和弹性波传播等高频或大范围解域的动力学问题而进行的大规模数值模拟，产生的巨大计算工作量即便采用高性能计算设备也难以承受.因而，在处理这类大规模动力计算问题时往往采用所谓“质量集中”技术，即首先通过有限单元法导出CMM，然后再采用某种方式将CMM 等效转变为对角形式的集中质量矩阵（lumped mass matrix，缩写为LMM），以实现时空解耦的显式算法构建及其大规模动力计算.

质量集中的首要原则是保持总质量不变.早期的质量集中方法简单地将单元总质量平均分配到各节点上，具有相当大的随意性.Fried 和Malkus （1975）提出的节点积分法取洛巴托（Lobatto）积分点作为单元节点，并采用洛巴托积分计算单元质量矩阵，积分之后可自动形成LMM.该方法具有完备的数学基础（Duczek，Gravenkamp，2019a），但应用于Serendipity 单元时将导致质量矩阵出现零元素或负元素（Zienkiewiczet al，2013）.Hinton 等（1976）提……