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具有奇异振荡的三维非自治线性Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程的一些估计

2022-03-26谭青维朱朝生

关键词:范数常数流体

谭青维,朱朝生

西南大学 数学与统计学院,重庆 400715

令Ω⊂R3是一个边界光滑的有界域.本文主要研究Ω上具有奇异振荡力的三维非自治Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程[1-4]:

(1)

其中:a∈R,b>0,r∈[1,∞),μ>0是流体的运动粘度,α是流体弹性的表征参数,函数u=u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示流体的速度,p=p(x,t)表示压力.当a,b=0时,方程(1)为带奇异振荡力的Navier-Stokes-Voigt方程[5-10];当α=0时,方程(1)为带奇异振荡力的Brinkman-Forchheimer方程[11-15];当a,b,α=0时,方程(1)为带奇异振荡力的Navier-Stokes方程[16-17].

结合方程(1),我们考虑如下平均Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程:

记函数

其中常数M0,M1≥0,定义

综上有

引入函数空间

这里clXS表示S在空间X的闭包,H与V是可分的Hilbert空间.令H′是H的对偶空间,V′是V的对偶空间,有VH=H′V′,其中嵌入都是连续且稠密的.H与V分别具有如下内积和范数:

用〈·,·〉表示V′与V之间的对偶集,用|·|p表示Lp(Ω)空间中的范数,用‖·‖E表示巴纳赫空间E中的范数.字母C为常数.

方程(1)的前两个等式,可以写成如下抽象形式

(2)

令A=-PΔ是Stokes算子,P是从L2(Ω)到H的Leray正交投影,有

〈Au,v〉=((u,v))F(u)=P(au+b|u|r-1u)

〈B(u,v),w〉=b(u,v,w)B(u)=b(u,u)

这里

对于方程(2)的全局解的存在唯一性,可由文献[2]中的标准方法得到如下定理1.

u∈C([τ,T];V)∩L2(τ,T;V)∩L∞(τ,T;V)∩Lr+1(τ,T;Lr+1(Ω))

我们将考虑具有与时间相关的外力驱动的非自治辅助线性方程,对其进行一系列估计.

Yt(t)+μAY(t)+α2AYt(t)+aY(t)=K(t),Y(t)|t=τ=0

(3)

Y(t)∈C([τ,T];V)∩L2(τ,T;V),Yt(t)∈L2(τ,T;V′)

且满足不等式

证用Galerkin逼近法,可以推出解的存在,将方程(3)与AY(t)作内积,可得

(4)

由不等式(4)可得

即有

(5)

对不等式(5)在[τ,t]上积分,得

易得

将方程(3)与Y(t)作内积,可得

(6)

对不等式(6)在[t,t+1]上积分,再运用Poincaré不等式得

即有

定理2证毕.

(7)

则带奇异振荡力的线性方程

(8)

的解X(t)满足不等式

(9)

其中C与K(t)无关.

证首先记

则由(7)式可推出

由积分中值定理和定理2可得

现令

由X(τ)=0,得

方程(8)在[τ,t]上积分可得

Yt(t)+μAY(t)+α2AYt(t)+aY(t)=Kε(t),Y(t)|t=τ=0

综上所述可得

所以

‖X(t)‖≤C(|X(t)|2+α2|AX(t)|2)≤Clε

(10)

由不等式(10)可得不等式(9)成立,定理3证毕.

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