张晓青，杜泽英

(太原工业学院 理学系，太原030008)

混沌运动是非线性动力学系统中看似无序，实则有规律的一种复杂类随机运动.随着混沌和多个学科的融合，关于混沌的同步控制研究在不少领域取到了显著的成果，特别是利用混沌同步实现通信保密方面，然而复投影同步[1]在这方面的应用前景更加广阔.复投影同步中的尺度因子为复矩阵，复变量可以展开为实部分量与虚部分量，这使得变量数量增加一倍，进而信息传输量也增加一倍，并且复矩阵具有任意性且比实矩阵更难以预测，而且复数的乘积和导数运算也更复杂，因此大大降低了拦截器从传输信号中提取信息的可能性.1982年A.C.Fowler等人提出了复洛伦兹方程[2]，打开了学者们开始研究复混沌系统的大门.1990年，学者们发现初值敏感，运动复杂的混沌系统可以实现同步，掀起了研究混沌相关同步的热潮.文献[3]针对耦合复混沌系统，推导控制律使复状态向量渐近同步到所需的复函数矩阵实现复杂函数投影同步.文献[4]研究了两个相异分数阶复混沌系统(复Lorenz系统、复Chen系统)在复空间内的动力学行为、特征，以及其同步方法，并说明它们在安全通信方面的应用.文献[5]利用激活控制法实现了不同类型(整数阶和分数阶)的混沌的错位投影(DPS)同步.本文首先刻画了复矩阵下的投影同步定义，其次依据分数阶稳定性理论设计分离实部虚部的统一控制输入项.然后选取相异的两个三维复变量混沌系统作为案例，设计控制输入项，最后数值仿真进行验证.

1 控制器的设计

存在一个n维复变量分数阶混沌系统作为驱动系统：

dαx/dtα=Ax+f(x)

(1)

响应系统为n维复变量分数阶混沌系统：

dαy/dtα=By+g(y)+U(x,y)

(2)

其中，x=xr+jxi∈Cn×1，y=yr+jyi∈Cn×1为复状态向量，A,B∈Rn×n为参数矩阵，f,g为非线性复向量函数，U为所设计的非线性控制输入项.

定义1对于系统(1)和(2)，如果存在非零复值矩阵：

(3)

定理1设计如下控制器:

(4)

证明 根据定义1，可以得到系统(1)和系统(2)的误差如下：

(5)

系统(5)的分数α阶导数为：

(6)

将系统(1)，(2)代入(6)式，整理得：

(7)

将所设计的控制器(4)代入(7)得：

(8)

2 分数阶复Chen系统和分数阶复T系统

复变量分数阶混沌Chen系统[6]如下：

(9)

其中，0<α<1，a1，a2，a3为Chen系统参数，x1，x2，x3是复值状态变量.Chen系统的初值、参数以及分数阶数分别为(x1,x2,x3)T=(1+2j,1.5+4j,3)T，(a1,a2,a3)T=(42,26,4)T，α为0.95时，系统(9)是混沌状态的.吸引子的二维相图见图1所示.

图1 Chen系统的二维相图

将三维复变量分数阶Chen混沌系统选作驱动系统，三维复变量分数阶T系统选作响应系统，添加非线性复值控制输入机制的T系统为[7]：

(10)

其中阶数0<α<1，b1,b2,b3为系统参数，y1,y2,y3是复值状态变量.分数阶复变量T系统的系统参数、初始值分别为(b1,b2,b3)T=(2.1,27.9,0.6)T,(y1,y2,y3)T=(8+7j,6+8j,7)T，并且分数阶α=0.95时，复变量T系统是混沌状态.系统(10)吸引子的二维相图见图2所示.

图2 T系统吸引子的二维相图

3 分数阶复Chen系统和复T系统的CPS

把系统(9)和 (10)写成如下形式：

(11)

(12)

为复控制函数，任取复尺度因子为

定理2设计控制输入项为：

(13)

其中，所选择的增益控制矩阵

证明 系统(11)和系统(12)的CPS误差函数如下：

(14)

对方程(14)做α阶导数，并将所设计的控制输入项(13)代入得：

(15)

满足

则系统(11)与(12)实现了CPS.

4 数值仿真

图3 误差曲线

5 结论

本文利用分数阶稳定性理论，设计了合适的普适复值非线性输入项，实现了阶数为α为0.95的复变量Chen系统和复变量T系统的CPS.通过理论分析，以及MATLAB数值仿真绘制CPS同步误差曲线图，观察到曲线快速趋向于0，验证了所设计的非线性复值控制输入项的正确性.本文所做成果在信息传输领域有潜在的应用价值.