张高淞

[摘  要] 每一道经精心策划而成的数学题，都包含着能拓宽教师和学生眼界的数学思想。但一些教师常忽视了习题教学的本质，让学生失去了在相应阶段本可知晓的解题策略和数学思想。如今，随着教师在素质教育方面的意识提高，现今的教学重心逐步倾向重视课本甚至是课本例题之外的练习题，形成了新的教学模式：从课前的关注题材、挖掘策略，到课中的把握题材和展示策略与数学思想，再到课后的反思题材、举一反三。总的来说，教师要学会立足题材、把握题材，以及钻研题材，才能聚焦题材中的解题策略和数学思想，提升学生解题素养。

[关键词] 题材;策略;模型思想

随着开发与研究新教材的深入，教师的关注点不再仅是课本上的教学例题，还渐渐偏向于教材上的练习题。练习题常常隐藏着教学例题所缺失的知识点、数学思想和解决问题的策略，它可能会拓展学生的认知，发展他们的思维以及拓宽思考的角度，促使学生和教师更深地体会数学来源于生活这一本质。笔者接下来将借“百僧百馍”一题阐述如何聚焦练习题中的数学思想和解题策略。

一、设计准备题，明确整体法概念

整体法这一解题策略对学生来说，应该是既熟悉又陌生的。熟悉，是因为他们可能无意识间曾用过整体法策略解决了一些问题;陌生，是因为他们未曾对这种解题策略有过明确的认知与记忆。为巩固这方面的数学思想与解题策略，笔者设计了一道用整体法策略解决的准备题。

【教学片段1】

出示：已知笼子里的鸡和兔的数量相同，以及共有144条腿，请问鸡和兔各有几只？

展示学生的解题过程：144÷（4+2）=24（只）

师：谁能说说“4+2”表示什么意思？

生1：“4”表示1只兔子的脚，“2”表示1只鸡的脚，合起来就是1只兔子和1只鸡总共的脚。

生2：因为鸡和兔的数量相同，可以把1只鸡和1只兔看成1组，过程里面括号里的“只”，其实也可以看成“组”。

师：谁能理解他表达的意思？

生3：他的意思是用腿的总数量，去除以每1组的腿的数量，就能得出组的数量。

师：计算的结果为什么就是鸡的只数和兔的只数？

生4：1组里有1只鸡和1只兔，一共有24组，计算结果当然就表示有24只鸡和24只兔。

师：对，这种解题方法其实就是所谓的“整体法”。

二、深思策略，感知模型思想

一道题的解题思路可能只有一种，也可能有多种，但它对应的策略基本是固定的。而模型思想不仅仅存在于一题之中，学生只需发现与琢磨，就能在不同的题型中找到。因此， 在分析与解决问题时，教师要教学生策略的同时更多地灌输数学思想。

1. 沿用策略，紧抓模型思想

根据“助长性迁移”的教学思想，“百僧百馍”问题的解题策略会沿用假设法或列表法，紧紧抓住“把谁看作兔子，把谁看作鸡，把谁看作头，把谁看作脚”的模型思想，直至成功解答此类问题。

【教学片段2】

出示：100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大、小和尚各多少人？

展示学生独立思考后的成果（如图1）。

师：他以鸡兔同笼为模型，很好地建立了此题与“鸡兔同笼”题的联系。

师：为什么你不用假设法去解决此题而选择了列表法？

生1：我不知道一个大和尚比一个小和尚多吃了几个馒头，列表法解题对我来说比较容易。

师：那么谁选择了用假设法解决此题，能说说你是怎么思考的？

根据学生的回答做相应的板书：

假设全是大和尚

馒头：100×3=300（个），差馒头：300-100=200（個），多馒头：3-1=2（个）。

生2：不对，3个小和尚吃一个，不是一个小和尚吃一个，所以不是3-1=2（个）。

师：那这里应该怎么列式呢？（生2直摇头）

生3：3人吃一个馒头，一人就吃1/3个馒头，把一个馒头平均分成3份，每人吃1/3个。（学生鼓掌赞成）

板书：3-1/3=。

师：这位同学说得太棒了。只是这个算式的计算我们还没有学过，所以这个假设法就不能用了。

师：生1就用了列表法解决此题，哪位同学的列表法比他更完整？

展示学生作品（如图2）。

师：哪位同学能看懂他列表法的过程？

生4：他是从“100个大和尚、0个小和尚”开始罗列的，有序地列出所有的可能性，直到出现“25个大和尚、75个小和尚”这一数据为止。

如果用假设法去解题，那么又会遭遇未学的知识点，这会让问题变得更为复杂。如果直接用列表法解答此题，那么无疑只会事倍功半，让解题效率低下。为简便地解决此题，教师应该引导学生打破原有的思路，从不同的角度去思考策略。

2. 新推策略，不忘模型思想

学习数学的主要目的就是为了激发善于思考的潜能。学生要多加思考寻找更适合的解题策略，联系准备题中的整体法策略，尝试捆绑个体，形成固有的策略模式。同时教师也应该结合鸡兔同笼的模型思想，提醒学生只有不忘模型思想才能更深地理解整体法策略。

【教学片段3】

结合上题的整体法策略，在独立思考后，同桌间互相交流自己的想法。

汇报：

生1：100÷（3+1）=25，那么小和尚就是25×3=75（人），大和尚就是25人。

师：你是怎么想出这个算式的？

生1：把3个小和尚吃一个馒头和3个大和尚吃3个馒头看成整体，就是4个和尚吃4个馒头，100个馒头有25组和尚吃。

师：谁能再次说说他刚才的想法？

结合学生的说辞畫图（如图3）。

师：这里的25表示什么意思？小和尚为什么是25×3=75（人）？

生2：25表示有25组这样的和尚，一组里面有3个小和尚，所以小和尚有75人。

板书：100÷（3+1）=25（组），大和尚：25×1=25（人），小和尚：25×3=75（人）。

师：他的策略就是上题中使用过的整体法策略。谁能把这两题联系起来？

生3：把“一个大和尚吃3个馒头”看成兔，“3个小和尚吃一个馒头”看成鸡，合起来就是4个和尚吃4个馒头，也就是4个头4只脚，其中3个头是小和尚，1个头是大和尚。

师：你的说法太棒了！我们可以把百僧百馍问题归结成鸡兔问题，再用类似的方法解题。

在教师的引导下，学生想出把“一个大和尚吃3个馒头”和“3个小和尚吃一个馒头”看成一个整体解决了百僧百馍问题，找到了有效的整体法策略。学生正迁移套用模型思想，把百僧百馍问题和同鸡兔同笼问题归成一起，真正让模型思想深入学生的心理。

3. 巩固策略，加深模型思想

策略的巩固需要学生做一些类似的题型，在做题过程中不断内化整体法策略，学生能形成固定的类型、固有的策略。为了让每位学生都具有模型思想的意识，加深自身的印象，教师要强调让他们在写的过程中体现出模型思想，全员体会模型思想的便利之处。

【教学片段4】

出示：四年级师生共80人去植树，老师每人种3棵，学生每3个人种一棵，正好种了80棵树。你知道老师和学生各有多少人吗？

学生作品（如图4、图5）。

师：谁能看明白两位同学的解题过程？

生1：他们的画图让我更加明白把“4人种4棵树”看成一个整体，里面有3个学生和一位老师。

生2：一位同学把“老师每人种3棵”看成兔，“学生每3个人种一棵”看成鸡，然后把它们看成一个整体，就是4人种4棵树。另一位同学把“老师每人种3棵”看成“大和尚”，“学生每3个人种一棵”看成“小和尚”。

师：你觉得哪位同学的思路更适合这题？

生3：第一位同学的思路，他使我马上想到了准备题的整体法策略。

生4：我觉得是第二位同学的思路，因为我们已经知道用整体法策略可以解决百僧百馍问题，而这题与百层百馍问题更接近。

生5：我也同意生4，百层百馍问题就固定用整体法解决，没必要与鸡兔混淆。还应该增加把“80人”看成“80个和尚”，“80棵树”看成“80个馒头”。

显而易见，同学们欣赏他俩画出图形帮助自己更好地巩固整体法策略，还在对比中悟出了模型思想的适用性，把“老师每人种3棵”看成大和尚，把“学生每3个人种一棵”看成小和尚，把“80人”看成80个和尚，把“80棵树”看成80个馒头，这样就能理解80÷（3+1）=20（组）的意思。这两位学生的榜样作用是巨大的，其他同学会自今后的练习中模仿他俩的书写，加深了模型思想。

三、总结策略，升华模型思想

剖析题目条件是总结策略的前提。学生要认知题目的本质，明白整体法策略的适用范围，体会策略多样化的同时清楚百僧百馍问题策略的唯一性，真正升华模型思想的价值。

【教学片段5】

师：观察这两题的条件，什么情况下使用整体法策略更适合？

独立思考，小组交流。

汇报：

生1：人数和物体数相同，而且人和物体组成一个整体时数量也相同。

生2：总物体数能够除以一组的物体数。

生3：只有满足所有条件，才能用整体法策略解决此类模型的题目。

师：生3总结得十分恰当。（全班鼓掌）

附学生的课堂作业情况（如图6、图7）。

整体法策略解决此模型题目的条件是苛刻的，一旦变换其中的一个条件，它就会失效。换个角度说，这种题材不存在变式，只存在相同的模型。但如果学生摸清了条件，掌握策略就能应对自如。

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