尹元洪

（仙游县教师进修学校，福建 仙游 351200）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：习题的设计要关注数学的本质，关注通性通法。探究性作业指的是在教师预设的探究性问题的引领下，学生在已有知识、经验及思维方式的基础上，亲历创意思考、动手探索、解决问题的学习过程的一种作业形式。探究性作业以满足学习的巩固、复习、应用、拓展需要为目标，从知识的本源出发，关注数学的本质。它依托的基础是“探究性问题”，作业完成的标志回归到学生是否解决了问题，是否经历了探究的过程，并且将已有的知识和方法运用到探究问题的过程中。

探究性作业当在课堂内外应然而生，供学生自主选择，与传统数学作业相比较，其呈现方式多样，解决问题的方法更具灵活性、针对性和开放性，更能满足学生个性化学习的需要。同时，减少传统数学作业机械重复、千人一面、思维含量低等问题。在学习探究新知之后，让作业任务尽可能再次成为学习的探究之旅，从而解决问题，提高素养，提升思维品质。［1］本文试从以下五个方面，探讨如何设计小学数学探究性作业。

一、把握概念内涵探究，设计概念表征性作业

数学概念是在大量分析判断、提炼概括的基础上总结出来的数学成果。它借助符号化表达与文字表述，将复杂的知识抽象为简单的文字或符号说明，让人能够清晰理解其深刻内涵。对于小学生而言，数学概念相对抽象，不易理解，导致其概念不清，越学越糊涂。因此，在数学概念学习后，为了发展学生的归纳推理、提炼概括、辨析判断能力，以及良好的数学概念理解能力，让学生把握数学知识的内涵，正确理解与运用概念，可以设计概念表征型探究性作业，引导学生运用图像、文字或语言来表征概念，表达自己对概念的理解。

例如，学习“简易方程”时，教师设计以下开放性的探究性作业，“3ⅹ+（ ）=20 是方程吗？3+（ ）=10 是方程吗？请用20+ⅹ=30 描述生活中的一件事。”学生站在“方程的定义”角度完成作业，尝试填写不同的答案，发现3+（ ）=10，若（ ）中写的是7，就不是方程，因为没有未知数；而3ⅹ+（ ）=20 则是方程，因为它符合“等式”“含有未知数”的要求。然后要求运用20+ⅹ=30 来描述生活中的事情，意在激发学生的创新思维，引导学生用自己的语言来表征概念，从而更加深刻地理解概念。

在对数的意义、运算定律、图形与几何及统计与概率的名称、概念等进行理解阐述时，亦可设计此类概念表征性作业。教师应着力启发引导学生，洞悉概念要义，准确地以自己的方法理解、说明概念，将自己对概念理解的思路、对问题思考的过程，以语言描述、算式表达、图形表示、思维导图、文字符号等方式可视化地表征出来，从而加深对概念的理解，灵活运用知识、内化知识。

二、关注整体结构探究，设计知识综合性作业

数学知识纵横交错，是一个有联系的整体。作业是学习的拓展与延伸，是数学知识的意志和呈现，知识的整体性、连贯性和系统性，在数学作业中应予以充分体现。［2］在教学中，需要遵循学生的认知规律，引导学生在已有知识和经验的基础上进行探究学习。同时，设计一些知识综合探究性作业，让学生整体地感知数学知识的脉络，更系统地建构数学知识体系。因此教师要启发和鼓励学生，帮助学生以旧引新、新旧类比，发现知识间的区别和联系，逐步建构知识网络，促进知识的综合分析与运用，培养学生良好的学习能力。

例如，在学习“小数除法”知识时，教师设计以下探究性作业：

①小明有24 张动画卡，小明的张数是小青的3倍，请问小青有多少张动画卡？

②小明有24 张动画卡，小青的张数是小明的1/3，请问小青有多少张动画卡？

③小明有24 张动画卡，小青与小明张数的比为1∶3，请问小青有多少张动画卡？

问：如果都用“24÷3=8（张）”来解答，你认为正确吗？为什么？

学生先分析除法、分数、比例的概念，再分析问题的本质，发现站在除法、分数、比例的核心本质的角度来看“24÷3=8（张）”，这个答案是正确的。但是从概念的角度分析，这三道题是不同的概念，若要体现问题的区别与除法、分数、比例概念的不同，就需要分别用：“①24÷3=8（张）；②24×（1/3）=8（张）；③解方程：ⅹ∶24=1∶3，ⅹ=8”来解题。其关键点在于三者概念不同，但是回归到本质又相似。学生在完成这类知识综合探究性作业的过程中，不仅学会类比分析、区分异同点，提升辨析思维，而且强化对知识的区别与联系的认识，从而构建知识网络。

三、渗透思想方法探究，设计建构模型性作业

数学思想是人们经过长期的数学研究后形成的本质性的统一认识，是“四基”之一，是数学学科的本质与核心，能够帮助人们科学地思考问题、探索规律、获得解题的策略。数学学习重在数学思想与方法的掌握，重在以数学思想和方法引领学习。如果学生能够真正理解领悟隐含在数学知识体系中的思想和方法，将更加全面、深入地学习数学，更加得心应手地应用数学。小学阶段是数学思维形成的重要时期，是抽象逻辑思维的进阶阶段，可借助探究性作业对学生进行数学思想和方法的熏陶与渗透，培养学生的高阶思维。

数学模型建构强调对真实问题情境的抽象与概括、解释和应用，教师可通过设计这类探究性作业，理清数学逻辑体系，助力学生模型性、系统性地学习理解数学学科的本质内涵，切实提高数学的应用性。如人教版小学数学教材中的“数学广角”学习单元，以生活中常见的数学活动为依托，通过感受数学现象、积累数学经验，让学生亲历数学探究过程，从而渗透数学方法、感悟数学思想、建立数学模型。因此，教师在“数学广角”的教学中，要巧妙渗透数学思想方法，设计建构模型性作业，从而启迪、唤醒学生，帮助学生学以致用、举一反三地应用数学。［2］

例如，在学习“植树问题”后，教师设计探究性作业：“为什么路灯问题、楼层问题、锯木问题都可以称之为植树问题？请举例说明。”在该作业任务下，学生意识到这些实际生活中的现实问题，都可以划归到“植树问题”这一类别中。学生举例说明：“楼层问题”中，第1 层不需要爬，到第2 层要爬1 层楼梯，相当于有1 个间隔；到第3 层要爬2 层楼梯，相当于有2 个间隔。这与“植树问题”的2 个空格，每隔5 米，两端都种树，10 米需要种多少棵树类似；与“锯木问题”中，1 刀锯开2 段的情况也类似；“路灯问题”中，需要几盏灯与需要种几棵树，也是一样的情况。通过举例和画图分析，学生建立“植树问题”的模型，模型的关键是“间隔长度、间隔数、端点个数”，把握不同实际情况的不同点、关键点，即可解决这一类问题。该探究性作业任务给予学生解决问题的启示，运用数形结合的形式加以说明，进一步发展学生的创新思维。学生经过这样有思想深度、有系统方法的数学课堂学习，获得持久的数学思维及终生受用的解决问题的数学思想方法，更加深刻地感受到数学的价值与魅力。

四、强化动手操作探究，设计生活实践性作业

数学知识来源于实际生活，也来源于动手操作和实践。数学知识与生活实际相结合，是数学学习的本质需要，也是提高学习趣味性、深刻性、应用性的重要手段。学生对自己身边的事物最感兴趣，如果生活中的问题能运用课堂所学的知识来解决，有助于调动学生学习与探究的积极性。小学数学教学应注重实践性和生活性，在生活化的情境中，创设实践性练习，通过动手操作、使用纸笔工具等，促使学生掌握分析问题、解决问题的方法。通过这类探究性作业，加深学生对数学知识的认知与吸纳，使知识内化为学生自己的实践技能，提高实践应用能力。在操作实践、主动探究问题的活动过程中，学生不仅获得与实际生活紧密关联的数学知识，而且增加动手操作的技能，提升解决复杂问题的能力。

例如，教学“可能性”知识时，教师设计探究性作业“制作赢的可能性为八分之一的游戏”。学生模仿生活中常见的游戏类型，动手制作“转盘”游戏。并结合赢的可能性进行分析，发现要将圆形转盘平均分成8 份，即将360°除以8，得出每份为45°。这类探索制作活动须在教师的正确引导下开展，通过准备硬纸板，剪切、画图、设计，安装转动的指针等相关环节，动手操作完成游戏工具的制作。在探究性作业完成的过程中，学生感受到数学学习的趣味性，动手动脑，学以致用。同时，体会到数学的实用价值，提升动手实践操作的能力。

人教版教材中，一系列“综合与实践”学习打破了课堂内外的隔阂，意在培养学生的动手能力，促进其思维力与创造力的发展。教师在设计与“综合与实践”相关的动手操作探究、生活实践性作业时，应围绕探究性问题展开综合分析，在实践练习中让学生积累数学经验，在调查分析中让学生内化知识，进而应用知识、掌握技能，解决现实生活问题。

五、聚焦假设验证探究，设计合作尝试性作业

合作学习不仅使师生、生生之间的关系和谐、顺畅，还能促进课堂教学提质增效。为了引发学生对问题的探究欲，教师要把握时机，适时创造条件，指导学生进行小组合作探究性学习。让学生积极地提出问题、思考问题，认真分析，分工合作，大胆尝试，试着使用假设、验证的方法来解决问题，同时在自主探究、解决问题的过程中，寻找解决问题的办法和正确的答案，增强思辨能力和分工合作交流的意识。［3］

例如，“某地遭遇暴雨，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪。这个水库有两个泄洪口，只打开A 口，8 小时可以完成任务；只打开B 口，6 小时可以完成任务。如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？”这是一个可以利用的假设验证类探究性作业素材。解题过程中，一部分学生困惑不解，他们认为，已知条件中没有说明“这个水库总水量有多少”，如何求出“两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务”这一问题。此时，教师可以根据题目设计的意图，对学生进行分组，有针对性地引导学生分组解决问题：第一组，假设水库的总水量为1800 万立方米；第二组，假设水库的总水量为3000 万立方米；第三组，自由假设水库的总水量（合理范围内）；第四组，把水库的总水量看作单位“1”。然后让各小组派代表展示交流结果，发现假设的4 种水库的总水量虽然各不相同，但是最后计算得出的答案是相同的。学生在该案例的学习中，经历了自主探究、解决问题的过程，运用假设、验证等策略解决问题，学会解决问题的方法，发展求知探索、解决问题的能力。［3］

诸如“工程问题”“行程问题”“鸡兔同笼问题”“用比例解问题”等知识的学习时，亦可布置这类探究性作业。让学生结合所学知识进行假设验证，给学生以合作尝试的机会，分工协作，共同探究验证数学知识，合作完成学习任务，促进自主学习与探究能力的提升。

总之，探究性作业可以帮助学生掌握知识、应用知识分析和解决实际问题，发展学生的探究能力、实践能力。探究性学习具有一定的挑战性，在初期阶段，学生难免感觉困难，通过教师积极的指导、正确的训练后，学生的解题能力、思辨水平将逐步得到提升。故此教师要有意设计、编排一些契合学生学习、生活实际的探究性作业，鼓励学生尝试和探究、实践与应用，培养学生的创新思维，发展学生的核心素养。