徐 震，沈云柱

(济南大学 数学科学学院，山东 济南 250022)

奇异非混沌吸引子(SNAs)是在几何上表现为奇异，但最大李雅普诺夫指数非正且不具备对初值条件的敏感性的吸引子。1984年Grebogi等[1]发现在某些动力系统中可能存在SNAs，并以连续时间非线性振荡器为例，首次验证了SNAs的存在。在过去几十年中，学者们进行大量有关SNAs的实验并取得了许多研究成果[2-8]，在各种动力系统中发现了不同类型的分岔，并研究这些分岔中的SNAs，例如霍普夫分岔[9]、边界碰撞分岔[10-11]、擦边分岔[12]和爆裂分岔[13]等。随着电子科学的不断发展，学者们探究了电子电路中的SNAs。Paul等[14]通过相空间分析、庞加莱界面和李雅普诺夫指数等，分析由2个正弦驱动的具有共同分段的非线性LCR(电感-电容-电阻)电路耗散振子组成模型中的SNAs，并运用实时电子电路为验证系统中SNAs的存在性提供了实验证据。张永祥等[15]研究了一种新的概周期驱动电路系统中多种类型的SNAs及其不同生成机理，结果表明，系统中存在一种新的由环面分岔形成的类似轮胎形或管道形的SNAs。谢帆等[16]利用电流反馈形降压变换器(Buck变换器)，研究2个三段式分段光滑系统的边界碰撞和分岔，得到了在离散模型中该系统关于边界碰撞和分岔的理论。随着SNAs在通信安全[17-18]、气候变化[19]等领域中应用前景的不断扩大，SNAs逐渐成为国际非线性动力学研究的重点之一。随着近几年光滑系统的SNAs理论的不断完善，国内外学者们开始研究分段光滑(非光滑)系统的SNAs，并取得了许多成果[20-23]，但相应的理论还不够完善，有待进一步研究和验证。

本文中以概周期驱动二维分段线性范式系统为研究对象，探讨系统中是否存在SNAs。首先通过相轨迹图寻找奇异吸引子，并利用最大李雅普诺夫指数验证奇异吸引子是否是混沌的；然后通过有理逼近加以验证；最后利用功率谱、相敏感函数和回归图对吸引子进行进一步分析。

1 系统模型建立

二维分段线性范式模型[24]为

(1)

式中：n∈为系统的迭代次数；xn、yn分别为系统第n次迭代时的输入、输出变量；τm、τr、δm、δr为固定的系统参数；u为分岔参数。方程(1)加入概周期驱动力后变为

(2)

φn+1=mod(φn+ω, 1),

(3)

为了描述概周期驱动二维分段线性范式系统的SNAs，给出x轴方向上的最大李雅普诺夫指数λx的计算公式，即

(4)

式中xi为系统第i次迭代时的输入变量。

2 系统的SNAs

SNAs的识别与检验过程如下。首先固定系统参数为τm=0.86，τr=-1.6，δm=0.3，δr=0.3，取激振动力幅值b=0.4，概周期驱动的二维分段线性范式系统在不同控制参数a时的相轨迹图如图1所示。由图1(a)可知，当a=-0.094时，系统(2)中的吸引子是光滑的且系统图像在相轨迹图中表现为第1个周期内的概周期环面。由图1(b)可知，当a=-0.023时，相轨迹图中开始出现不连续点，光滑的概周期环面变为非光滑环面。由图1(c)可知，当a=-0.022时，非光滑环面出现分形，通过计算可得，最大李雅普诺夫指数约为-0.102 9，此时吸引子为SNAs。由图1(d)可知，当a=0.135时，奇异非混沌现象变得非常明显，此时最大李雅普诺夫指数约为-0.032 6。当a>0.135时，系统开始进行混沌运动，进入混沌区域。

2.1 有理逼近

概周期驱动的二维分段线性范式系统的频率ω为黄金分割值，运用Fibonacci数列的特性对ω进行有理逼近，得到有理逼近频率ωk=Fk-1/Fk，k∈，Fk∈K，满足Fk+1=Fk+Fk-1，K={1,1,2,3,5,8,13,21,…}。当k→∞时，系统的相轨迹图出现SNAs。在ωk=10 946/17 711且激振动力幅值b=0.4的条件下，概周期驱动的二维分段线性范式系统在不同参数a时的有理逼近图如图2所示。对比图2(a)、图1(c)以及图2(b)、图1(d)可以发现，相同参数时的相轨迹图与有理逼近图具有相同的奇异特性，证明在参数a=-0.022，b=0.4和a=0.135，b=0.4时的吸引子为SNAs。

2.2 功率谱

功率谱是验证吸引子是否为SNAs重要手段之一。SNAs的功率谱有奇异连续的特性，在功率谱图像中表现为有许多自相似的峰，而周期吸引子不具备这种特性。

由傅里叶变换

(5)

得到功率谱为

(6)

式中：X(ωc,n)为傅里叶级数；ωc∈[0,1]为功率谱频率；r为傅里叶变换的迭代次数；xr为系统第r次迭代时的输入变量；|·|为模运算。

图3所示为概周期驱动的二维分段线性范式系统在不同控制参数a时的环面功率谱。由图3(a)可知，当a=-0.094时，光滑环面的功率谱没有表现出奇异连续的特性。由图3(b)可知，当a=0.135时，环面的功率谱既表现出奇异连续的特性，又具有很多自相似的峰，证明此时吸引子为SNAs。

(a)a=-0.094

2.3 相敏感函数

相敏感指数也是验证吸引子是否为SNAs的重要手段之一。SNAs的相敏感函数Fn=nμ满足幂律关系，μ为SNAs的相敏感指数。Fn随着n的增大而无限增大。对于环面，相敏感函数则具有有界性。相敏感函数计算公式为

(7)

式中：x0为系统的初始输入量；φ0为系统的初始相位；

(8)

其中φi为系统第i次迭代时的相位。

图4所示为概周期驱动的二维分段线性范式系统在不同控制参数时的相敏感函数。从图中可以看出，环面的相敏感函数表现出明显的有界性，而与nμ满足幂律关系的SNAs的相敏感函数则表现出无限增长趋势，通过计算可得，SNAs的相敏感指数为μ≈0.475。

Fn—相敏感函数；n—系统的迭代次数，n∈；SNAs—奇异非混沌吸引子。

2.4 回归图

引入回归图可视化动态系统状态反复出现的时间。利用递推矩阵跟踪不同的结构，可以区分下划线轨迹的各种动力学状态。通过观察回归图可以明确系统在固定时间段上的状态。回归图中的重现是系统的轨迹回到它曾经访问的位置的时间，而回归图则是系统的轨迹在相同位置的时间对的集合。周期轨道的回归图将出现重复、连续的纹理，时间对产生倍数分隔并形成对角线。系统的回归图矩阵计算公式为

(9)

图5所示为激振动力幅值b=0.4条件下概周期驱动的二维分段线性范式系统在不同控制参数a时的回归图。由图5(a)可知，当a=-0.094时，回归图出现重复且不间断的纹理，并且时间对会形成对角线纹理，证明吸引子位于概周期轨道上。由图5(b)可知，当a=0.135时，回归图中出现大量的孤立点和一些较短的对角线，说明系统的重现过程是复杂的，证明吸引子为奇异吸引子，但是此时最大Lyapunov指数是负的，因此证明吸引子是SNAs。

(a)a=-0.094

3 结语

本文中以一类概周期驱动分段线性范式系统为模型，研究系统中是否存在SNAs。通过观察相轨迹图并计算最大李雅普诺夫函数，发现了该系统中存在的SNAs，并运用有理逼近、功率谱和回归图，对系统中的SNAs进行了深入分析。研究结果表明，概周期驱动分段线性范式系统中存在SNAs。不同的概周期驱动系统中是否存在SNAs，存在的SNAs的类型是否相同，还有待进一步研究。