丁玥 李玮玲

摘 要：数学建模是六大数学核心素养之一，是分析实际问题，建立数学模型，并转化成数学知识求解，从而解决实际问题的能力，是中学生的数学核心素养。解读其构成要素，针对要素培养，寻找恰当数学教学策略，是发展学生数学建模能力的重要途径。可通过创设问题情景、画图观察、一题多解、讨论质疑、小组探究等教学策略，培养发展学生数学建模的能力。

关键词：数学建模;构成要素;教学策略

中图分类号：G63          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2022）07-0025-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.07.010

新课程改革推行的主要课程目标是培养学生的数学核心素养。数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力[1]。在数学教学过程中，教师应当让学生感悟模型的魅力，培养学生用数学方法构建模型解决问题的素养，提高学生的应用意识和创新精神。因此。教师如何采取有效的教学策略来培养学生的数学建模能力是本文要探究的问题。

一、数学建模的含义

数学建模是针对一个实际问题，加以分析，建立数学模型，并且转换成数学知识，运用数学工具对数学模型进行求解，验证，从而最终解决实际问题的过程。新课标中指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[2]。因此数学建模往往都由一个原始问题引出，学生通过分析实际问题，将语言文字转化成数学知识，建立起数学模型。黄健指出：数学建模是应用数学知识的重要途径。他强调数学建模是促进学生巩固和深化已有的知识，更好地构建自身更為完备的数学认知结构的核心素养[3]。数学建模的活动过程复杂多样，由多个零碎的知识点所构成的，不只是考查学生数学知识表面的学习，更是考验学生对已有知识的融会贯通，因此学生要学会运用数学工具求解数学模型，最终解决实际问题。

二、数学建模能力的构成要素

数学建模，往往蕴含着复杂的数学过程。因此数学建模能力不仅仅只是学生解一道题，完成一张试卷那么简单，它对学生的数学素养有一定的要求。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型、最终解决实际问题[4]。在复杂的建模过程中，需要学生多重能力并行才能实现。因此，建模能力的构成要素也多方涉及，主要包括：阅读分析能力、抽象模型能力、模型计算能力、检验反思能力和集体合作能力。教师应该思考教学方法，研究教学策略，培养学生数学建模能力。

对于数学建模来说，建立模型就是一个至关重要的步骤，要是不能建立出适合实际问题的数学模型，很难解决相关的实际问题。因此，抽象模型能力是数学建模构成要素的核心，拥有抽象模型的能力，数学建模也就事半功倍了。数学模型建立之后，学生的任务就在于解模型，这就需要学生对于数据的敏锐度，对数据的处理是否熟练操作也有一定的要求，因此，培养学生的模型计算能力是教师的重要工作之一。当学生经过数据分析，将模型解出后，需要将数据回代检验，并且结合实际问题考虑合理性，最终通过反思优化模型，完成建模。

除此以外，学生还必须具备阅读分析能力以及集体合作能力。任子朝等人认为，数学阅读是从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程，也就是学生从数学书面语言代码中独立提取意义的心理过程[5]。王云秋认为，数学建模竞赛需要团结合作精神与相互协调能力[6]。竞赛如此，数学建模亦如此，学生以小组为单位合作学习，互相讨论，取长补短，才能将问题搞清楚，弄明白。

三、培养学生数学建模能力的教学策略

（一）创设问题情境，培养阅读分析能力

近年来，高考数学试题背景更加贴近生活实际，其对学生的要求着重于考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。学生运用数学知识解决实际问题的基础在于拥有阅读分析问题的能力。阅读是人们汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径，阅读分析能力的培养才能使学生正确理解问题的要求与含义[7]。创设问题情景，可以帮助学生培养阅读分析能力。数学建模通常以实际问题切入，让学生解决数学问题，需要学生进入情境状态，仔细阅读实际问题。与文学的阅读不同的是，数学的阅读一方面是指要抓住情境问题中的关键词，通过查阅文献资料，了解关键词的含义，深入学习情境问题的背景知识。另一方面是阅读实际问题中出现的数据，通过加强对数据的有效阅读，更有利于数学建模的进展。

例：某市2000初有常住人口80万，流动人口16万。已知流动人口的年增长率为1%，常住人口的年增长率为0.5%，请预测到2050年初该市拥有的人口数。师：请同学们仔细阅读例题，并查阅相关资料，估计2050年初人口将达到多少？师：建立指数函数关系：其中x为增长年数，为人口初始值，a为增长率。2050年初该市拥有的人口数为S，利用二项式定理的近似估计可得（1+0.5%）50≈1.293，（1+1%）50≈1.628，故S≈80×1.293+16×1.628=129.49（万）[8]。

教学分析：教师在给出数学建模问题时，创设一个人口增长率的数学建模情境，可以激发学生的阅读兴趣和探究导向。学生通过仔细阅读情境问题，并提取出问题中的关键字“人口数”，通过查阅资料，发现建立人口数与年数存在指数函数的联系y=y■（1+a）■。具有良好阅读能力的学生通过对函数模型的分析，可以找出问题中对应的人口初始值，增长率以及年数等相关数据。

（二）画图观察，培养抽象模型能力

画图是数学学习的一种重要策略，通过画图观察可以将间接的数字信息转化为直观的图形信息。教师要引导学生针对问题情境中的数据，画图观察数据的变化趋势，从数据中抽象出数学模型。张金良认为，数学抽象就是通过分析、思考、概括等活动，剔除事物的物理属性，从事物的数量与数量关系、图形与图形关系两个方面，抽象出其本质，并用数学语言加以表征的过程[9]。

例：这是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值，如表所示。师：请同学们观察表格中数据，思考未成年男性的身高和体重有怎么样的关系？可以建立合适的函数模型近似的反应未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？请同学们试着通过画图的方式找出规律[10]。

教学分析：数学建模的关键就是要建立数学模型。那应该建立哪一类模型呢？这是我们需要思考的。在例题中明确指出寻找函数关系时，其实也就是暗示学生从数据中抽象出函数表达式，从而建立数学模型。但是函数模型的类型有很多，需要教师引导学生通过建立数轴，观察点的变化规律来判断应抽象出哪一种函数模型。画图观察，更加直观地让学生感受自变量与应变量之间的变化关系，同时也培养了学生的实际操作能力。将“数”转化成了“形”，结合函数图形的性质，选择合适的函数模型建立，培养学生正确的抽象模型能力。

（三）一题多解，培养模型计算能力

模型计算是构建数学模型和问题解决的桥梁，拥有模型计算能力才能解决数学问题。数学建模的过程是一个让学生不断地思考，培养学生发散性思维的过程。知识在永无止境地汲取，学生在学习数学的过程中，不可能一味地只用一种模型解决数学建模问题。因此随着学习的进程，教师需要启发学生一题多解来展现学生的模型计算能力。

例：笼子里有鸡兔若干只。从上面数有8个头，从下面数有28只脚。鸡和兔各有多少只？请同学们利用至少两种方法来解决此问题。这个问题最早应该出现在小学阶段。在小学中教师教给学生的解决方法是算术解法，运用的模型则是算术模型。而在鸡兔同笼问题也会出现在中学的教学中，中學教师往往将借助这一问题引出一元一次方程的概念，传输给学生运用一元一次方程的模型进行解答。以下是中学的解法：设兔子为x只，则鸡为（8-x）只。那么根据一共有28只脚进行列方程：4x+2（8-x）=28，解出未知数x=6，则有6只兔子，2只鸡。

教学分析：对于小学的算术模型，需要一些思考过程，要理清其中的条理才能正确地解决鸡兔同笼问题。但是对于初中的方程模型来说，运用这一模型能让条件与数据看起来更加地简洁明了。两者策略不同，但是都能解决数学问题。这道鸡兔同笼的问题，既能使学生回忆出小学的算式模型，又能运用到方程模型。对于中学生而言，不仅让他们想到了当下学习的方程模型，同时通过一题多解，将学生的思维扩散，架构新旧知识间的联系，提高学生的模型计算能力。

（四）讨论质疑，培养检验反思能力

当学生建立并求解数学模型后，要对模型进行检验反思。反思检验是学生对于建模模型的不断完善和发展。教师应该在教学中通过学生讨论质疑的形式，加深学生对于模型的认知。数学解题教学中让学生反思学科思想方法，探究知识迁移过程更符合学生的认知规律，提升学生的认知力，有利于发展学生数学学科核心素养[11]。

例：师：同学们，我们通过计算建立了二次函数y=0.001x2+2.02，请你们结合二次函数与图形，仔细思考，可以在小组里讨论，有什么想说的？小组A：我们通过代入两个点（100，15.02）和（120，20.74）建立了此二次函数y=0.0013x2+2.02[12]，我们小组认为这种方法是正确的。小组B：我们小组采用的是指数函数模型。我们设定指数函数的关系式为，将（60，6.13），（140，31.11）代入，得指数函数模型。在得出该模型之后，我们又将一个新的点代入计算，当x=160代入，发现得出的结果与原数据近似相等，于是我们认为指数函数比二次函数更能刻画这些点的分布情况。

师：还有别的小组有不同意见吗？看来现在课堂中有两种不同的“声音”。请同学们来想一想，你们支持哪一小组的观点？

生：我支持小组B的，我很赞同他在模型建立后进行检验的这一做法。因为我们在确定数学模型的时候，只是根据点的分布看着像哪个模型，并且在计算的时候，只代入了两个点。你看，小组A如果将x=160代入，求得y为 35.3，与数据中的点（160，47.25）误差太大，因此不能利用二次函数模型进行刻画。而小组B将数学模型计算出来之后，还反思了建立的模型是否正确，通过再代入点进行检验，确保模型建立的准确性。

师：其他同学同意这位同学的观点吗？是呀，这位同学说得可多好呀！我们在建模模型的之后，不能百分之百地保证我们的模型是否正确，因此要学会反思检验数学模型，通过数据回代地方式检查模型地正确性。反思检验也是数学学习的一种重要方法。

教学分析：在该教学案例中，学生一开始通过实际问题建立了二次函数模型，又将二次函数模型回归原实际问题，反思检验找出不合理之处。他们发现二次函数的模型并不是描述身高和体重的最优解，经过小组的讨论，学生刚开始建立的模型提出质疑，从而对模型改良优化，发现小组B提出的函数模型优于二次函数。检验反思是对数学建模过程的再认识。是数学建模的重要能力之一，学生要通过讨论质疑的方式，培养检验反思的能力，这样才能在数学建模中应用的正确的模型解决实际问题。

（五）小组探究，培养集体合作能力

数学建模的难易程度不同，导致学生在解决建模问题的过程中所需要的时间，精力也会不同。较为简单的建模学生可以独立完成，而较为复杂的则需要学生分小组探究交流，共同协作完成。集体合作能力就是指学生组成小组进行合作学习交流讨论的能力。在一个小组中需要一位学生进行领导统筹工作，分配每位学生的工作任务，学生互相交流。而作为教师，应该在教学过程中，注重培养学生的自主探究能力，组织学生开展小组合作，并且通过要求学生撰写小组工作报告，让教师更了解学生之间的分工合作，有效地提高学生解决数学建模问题的效率。通过这一过程，加强了学生之间交流合作的能力，同时也提高了学生的数学建模素养。

例：以“教育储蓄”为例，依照教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年或5年）时一次可支取本息多少钱？如果运用其他储蓄方式，以每月存100元，6年后使用为例，探讨现行利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较[13]。教师让学生组成5人小组，一名学生作为小组长，统筹全组。将上网搜索相关“教育储蓄”以及“其他储蓄方式”的相关内容、建立经济模型、计算数据等工作分配给小组的每一位成员，进行集体合作，并且要求他们撰写小组工作报告。

教学分析：该数学建模问题并未将所有的信息与数据呈现在题目中，这就需要学生在课后通过查阅资料，小组分工完成。教师引导学生将一个复杂的数学建模问题，分成几个模块，小组长起到带头作用，要求每位小组成员负责一部分，这样才能加快学习的效率。在学习的过程中，不仅提高了学生解决数学实际问题的能力，同时也培养了学生之间合作交流的能力，增进了他们的友谊。

四、结语

对数学建模能力的构成要素分析，可以使我们在教学中能够有的放矢，针对构成要素开展教学，使得学生的建模能力能够在教学过程中获得训练、提升与发展。数学建模是中学生的核心素养：运用创设问题情景策略，培养需要学生良好的阅读分析能力;运用画图观察策略，培养学生抽象模型能力;运用多元教学策略，培养学生的模型计算能力，运用讨论研究策略，培养学生的检验反思能力，运用小组探究策略，培养学生的集体合作能力。本文通过将实际的问题与数学知识相结合，不断培养学生的数学建模素养，促进学生综合能力的提升。

参考文献：

[1][2][4] 教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 黄健，鲁小莉，王鸯雨，等.20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展[J].数学教育学报，2019（3）：18.

[5] 任子朝，陈昂，赵轩.加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底[J].数学通报，2018（7）：8.

[6] 王云秋.數学建模竞赛与学生综合能力培养[J].云南财贸学院学报，2005（z1）：119.

[7] 严育洪.材料分析：培养学生的数学阅读理解力[J].中小学教师培训，2018（9）：50.

[8] 李贺，张卫明.例谈初中生数学建模能力的培养[J].教育研究与评论（中学教育教学版），2019（8）：5.

[9] 张金良.解密数学抽象探索教学策略[J].数学通报，2019（8）：23.

[10][12] 李德季.基于数学核心素养的高中生数学建模能力培养的策略研究[D].聊城大学，2019.

[11] 倪树平.让反思与探究成为学生学习常态[J].数学通报，2019（7）：40.

[13] 张殿宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2016.

[责任编辑 梁爱芳]

3654501908205