石怀涛,侯马骁,佟圣皓,赵金宝

(沈阳建筑大学机械工程学院,辽宁 沈阳 110168)

近些年来随着工业的发展,系统的复杂程度越来越高[1-6]。保障某些复杂系统如轴承-转子系统和飞行控制系统的可靠性,监测这些复杂系统当前状态显得十分重要。然而,在实际中,由于环境或技术受限,并非所有的状态变量都是可测量的。为了解决这一问题,许多研究团队在观测器的设计上做出了大量的贡献[7-11]。

目前利用Luenberger观测器对于线性系统进行状态估计已经取得了很多研究成果[12-14],并扩展到非线性系统[15]。在实际运行中,系统本身和信号的采集会存在不确定的干扰和噪声,会导致状态估计偏差。目前针对提高残差对未知干扰的鲁棒性设计，已提出了许多行之有效的方法。Q.H.ZHANG[16]提出使用卡尔曼滤波的方法对观测器的增益进行优化,增加残差的鲁棒性。区间观测器具有天然阈值，可以有效地减少计算压力,这使得区间观测器被大量用于系统的状态边界估计。F.MAZENC等[17]使用两个Luenberger观测器构造成区间观测器。S.CHEBOTAREV等[18]针对LPV系统设计区间观测器,在L1/L2框架下首次分析了区间观测器的鲁棒性,并优化了估计精度。

切换系统在实际应用中十分常见,目前已经有许多针对切换系统状态估计的研究成果[19-22]。尽管如此,对切换系统的稳定性证明和状态估计仍然是一个具有挑战性的课题。因为即使所有子系统稳定,切换系统仍然可能是不稳定的。刘永慧[23]采用平均驻留时间方法对切换系统的稳定性进行了验证。上述方法均要求切换系统中的子系统稳定,这在实际情况中显然是无法保证的。然而,一些研究成果将所有子系统稳定的切换系统扩展到存在子系统稳定的切换系统,这也无法解决根本问题。W.M.XIANG等[24]等通过切换行为的稳定性来补偿由不稳定子系统引起的状态发散，提出了所有子系统不稳定的连续时间切换系统镇定的充分条件。L.YU等[25]针对线性切换系统设计了一种基于观测器状态估计方法。J.Q.YANG等[26]针对非线性切换系统的状态估计进行了研究。然而,由于未知干扰以及参数测量误差,切换系统状态应该在合理的区间内进行估计。

基于上述分析,笔者设计区间观测器并通过给出依靠时间的切换策略来实现对所有子系统不稳定的离散时间切换系统的状态估计;研究表明:基于Luenberger观测器设计区间观测器,该区间观测器具有天然阈值，相比于传统的Luenberger观测器，可以有效减少计算压力;利用依靠时间的切换策略给出区间观测器产生误差系统指数稳定的充分条件，实现了对所有子系统不稳定的离散时间切换系统的状态边界估计。

1 切换系统模型描述和区间观测器设计

1.1 切换系统描述

离散时间切换系统如下:

(1)

其中,x(k)∈Rn,y(k)∈Rp,d(k)∈Rq,分别代表状态、输出及未知有界干扰,k∈Z+。系数矩阵分别为Aσ(k)∈Rn×n,Bσ(k)∈Rn×q,Cσ(k)∈Rp×n,Dσ(k)∈Rp×q。定义集合M={1,2,…,N},N为子系统个数。σ(k):[0,∞)→M为切换信号即当k∈[kl,kl+1)时,σ(k)=il∈M,其中kl是第l次切换时间。

备注1:笔者去掉了系数矩阵Aσ(k)为Schur稳定这一假设。

(2)

定义1:对于任意时间段(ts,tu),令Nσ(ts,tu)表示第σ个子系统切换次数。如果如下不等式成立,即认为第σ个子系统最大的驻留时间为τ。

(3)

备注2:不稳定的子系统往往导致切换系统不稳定。在稳定子系统与不稳定子系统共存的条件下，L.I.ALLERHAN等[27]利用稳定子系统补偿不稳定子系统的影响。然而当所有子系统不稳定时这种思想无法成立。笔者给出递减Lyapunov函数并利用最大驻留时间技术,得到了不稳定子系统组成的切换系统指数镇定充分条件。

1.2 区间观测器

根据系统(1)区间观测器的设计如下:

(4)

其中,

(5)

(6)

将式(5)和(6)整合为如下形式:

(7)

2 指数稳定充分条件和误差系统LMI约束条件

2.1 切换系统指数稳定充分条件

定理1:考虑由子系统不稳定组成的切换系统x(k+1)=fσ(k)(x(k)),给出两个标量φ>1和0<φ<1。假设存在连续正定函数Vσ(k)(x(k))和正定标量K1,K2使得如下不等式成立。

K1‖x(k)‖2≤Vi(x(k))≤K2‖x(k)‖2.

(8)

Vi(x(k+1))-φVi(x(k))≤0.

(9)

Vσ(kl)(x(kl))-φVσ(kl-1)(x(kl))≤0.

(10)

切换信号满足如下关系时,切换系统指数稳定。

(11)

其中,∀i∈M,k∈[kl,kl+1),kl+1-kl=τl≥τ,l=0,1,2,…。

证明:

对于切换信号σ(k)=i∈M,当∀k∈[kl,kl+1)时切换到第i个子系统。根据不等式(9)得到如下不等式:

Vσ(k)(x(k))≤φ(k-kl)Vσ(kl)(x(kl)).

(12)

然后根据式(10)和式(12),得到如下不等式:

φ(k-kl)Vσ(kl)(x(kl))≤φφ(k-kl)Vσ(kl-1)·

(x(kl))≤φφ(k-kl)φkl-kl-1Vσ(kl-1)·

(x(kl-1))≤…≤φNσ(k0,k)φ(k-k0)Vσ(k0)

(13)

根据式(11)得出:

(14)

(15)

不等式(15)意味着如下不等式成立。

(16)

因此由不稳定子系统组成的切换系统指数稳定被证明。

2.2 误差系统指数稳定性证明

误差系统(7)指数稳定性条件在定理2中被给出。

(17)

(18)

当切换信号满足不等式(11)时,误差系统(7)指数稳定。

证明:

对于误差系统(7),笔者给出如下Lyapunov函数。

Vσ(k)(ε(k))=εT(k)Pσ(k)ε(k).

(19)

很明显满足定理1中不等式(8)中的条件。对于所有的k∈[kl,kl+1),σ(k)=i∈M,Lyapunov函数满足如下等式:

Vi(ε(k+1))-φVi(ε(k))=

εT(k+1)Piε(k+1)-φεT(k)Piε(k)=

(20)

根据Schur补定理和不等式(17),得出:

(21)

根据等式(20)和不等式(21),得出:

Vi(ε(k+1))-φVi(ε(k))≤0.

(22)

不等式(22)对应定理1中不等式(9)。

当切换时间k=kl+1时,切换控制信号σ(k)=j∈M。使用不等式(18)得:

φV(kl)(ε(kl))≤φV(kl)(ε(kl+1)).

(23)

不等式(23)对应定理1中不等式(10)。因此基于定理1能够证明在切换信号满足不等式(11)时,误差系统(7)指数稳定。

2.3 系数矩阵非负定条件

首先采用二阶系统来举例,其中

Cσ(k)=[c1σ(k)c2σ(k)],

误差系统的矩阵系数如下:

(24)

根据式(24),矩阵系数的非负定条件如下:

(25)

其中，i,j=1,2。

不等式(25)可以运用Matlab中的LMI工具包进行求解,同理任意阶系统均可进行求解。

3 仿真分析

考虑由两个子系统组成的离散时间切换系统。

(26)

备注3:矩阵A1的特征值分别为λ11=0.149,λ12=1.121,矩阵A2的特征值分别为λ21=1.189 2,λ22=0.130 8。系数矩阵均存在大于1的特征值,因此子系统1,2都是非Schur稳定的。

不考虑外部干扰d(k)子系统1,2状态发散如图1和图2所示。

图1 子系统1状态x(k)Fig.1 The state of subsystem 1

图2 子系统2状态x(k)Fig.2 The state of subsystem 2

给定x(0)=[0.5 0.5]T,标量φ=2,φ=0.1。切换驻留时间1 s≤τ≤3.321 9 s,选择切换驻留时间为3 s,切换周期为6 s，切换信号如图3所示。

图3 切换信号Fig.3 Switching signal

在如图3的切换信号下由不稳定子系统1,2组成的不含干扰切换系统状态如图4所示。

图4 不含干扰切换系统状态Fig.4 Switching system state without disturbance

切换系统(26)状态边界估计如图5和图6所示。

图5 切换系统状态x1(k)估计Fig.5 State x1(k)estimation in the switching system

图6 切换系统状态x2(k)估计Fig.6 State x2(k) estimation in the switching system

4 结 论

(1)笔者根据一类递减Lyapunov函数和驻留时间方法给出了所有子系统不稳定的离散时间切换系统的指数稳定条件。

(2)根据离散时间切换系统设计区间观测器,并利用依靠时间的切换策略给出区间观测器产生误差系统指数稳定的充分条件，实现了对所有子系统不稳定的离散时间切换系统的状态边界估计。

(3)在仿真结果中，所有子系统的状态不稳定，但是采用切换策略后，所有子系统不稳定的离散时间切换系统状态稳定,离散时间切换系统在未知干扰的影响下,区间观测器仍然可以估计出切换系统状态的上下边界。

(4)笔者提出的离散时间切换系统状态边界估计方法为日后研究电主轴、深沟球轴承等复杂系统的故障检测以及容错控制提供了基础。