许宏飞 唐亚林

摘 要：引入学校干预机制建立带有非单调传染率的大学生戒网络游戏模型.研究了系统平衡点的存在性和稳定性，发现参数b1，b2，b3跨过临界值时，系统平衡点的稳定性发生改变，系统发生跨临界分岔.最后，应用Dulac判断证明了系统不存在周期轨道.

关键词：非单调传染率;平衡点;跨临界分岔;周期轨道

中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.05.079

随着电子及信息化技术的快速发展，网络游戏为玩家构建了一个虚实交织的别样世界，玩家在其中可以有互动交流、竞技比赛、探索冒险等行为.这些紧张刺激，自由竞争的游戏体验很容易使大学生入迷，造成学业成绩下滑，甚至导致一系列的心理障碍。这种痴迷游戏的行为在大学生之间具有很明显的“传染性”.潜在的痴迷游戏者在与痴迷游戏者接触后有一定的概率成为痴迷游戏者.这种传播类似于动物种群的传染病传播，可以用微分动力系统来刻画其传播机制。

1 模型的假设与建立

假设考虑某高校一学期中痴迷游戏者与潜在痴迷游戏者的变化情况.学生群体中潜在痴迷游戏率为P，痴迷游戏率为S，由于两类学生接触后，潜在痴迷游戏者向痴迷游戏人群转化是复杂的，因此采用非单调传染率b1PS1+aS2。学校通过制定一系列制度防止大学生痴迷玩游戏.假设学校制度的预防和干预强度由小到大连续变化，学生从入校开始学校的预防措施已经起效，当学校痴迷游戏学生的比率达到Sc时，学校制度的预防和干预强度增长速度达到最大，学校的干预强度逐渐接近1.根据这些特点引入类sigmoid函数，设预防和干预强度函数为φ（S）=11+eSc-S。在学校的预防和干预措施下，痴迷游戏者转向潜在痴迷游戏者的转化率为b2。以上讨论的b1，b2，a均为非负数.

根据以上的假设和说明可得到如下模型：

3 跨临界分岔

记σ=b2b1，根据定理2，当σ<1+eSc时，系统（2）有一个不稳定的平衡点S=0和一個稳定的S=S*.当σ>1+eSc时，系统（2）只有一个稳定的平衡点S=0。

图1显示了系统（2）的跨临界分岔，其中实线代表稳定的平衡点曲线，短横虚线代表不稳定的平衡点曲线.随着σ的增大，痴迷游戏平衡点逐渐下降靠近无痴迷游戏平衡点，达到临界值σ0=1+eSc时，两个平衡点“碰撞”之后，两平衡点稳定性交换。

注：系统（2）的跨临界分岔没有发生平衡点个数的改变，只发生了平衡点稳定性的改变.由于S0，事实上，如果在σ跨过σ0后，继续考察痴迷游戏平衡点，会得到不稳定的平衡点曲线，即图1点虚线部分。

4 周期轨道不存在性

由于无法得到系统（2）的解析解，对其周期轨道的讨论比较困难。可以通过研究系统（1）的极限环的存在性，得到系统（2）的周期性。

定理3 系统（1）不存在极限环，系统（2）不存在周期轨道。

由系统（1）的参数全为正值，（4）式在平面上不变号，由Dulac判断知系统（1）不存在极限环，因此系统（2）不存在周期轨道。

5 结论

提出一类学校干预的大学生戒网络游戏模型，分析了一个学期内痴迷游戏学生受学校干预影响转向无痴迷游戏学生的动态变化过程.通过定性分析得到系统有一个无痴迷游戏平衡点和唯一的痴迷游戏平衡点，且系统不存在周期轨道.意味着无痴迷游戏学生与痴迷游戏学生不存在周期转化行为.当b1（1+eSc）b2时，即使有学校的干预，无痴迷游戏学生依然向痴迷游戏学生转化，但这个过程不会一直持续下去，痴迷游戏学生最终会稳定到痴迷游戏平衡点处.因此学校应制定措施，尽可能使参数满足b1（1+eSc）

参考文献

[1]魏华，周宗奎，田媛，等.网络游戏成瘾：沉浸的影响及其作用机制[J].心理发展与教育，2012，28（006）：651-657.

[2]王霞，李保林，葛情，等.一类具有非线性接触率的戒烟模型[J].信阳师范学院学报：自然科学版，2019，（3）：362-366.

[3]A D X ， B S R . Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate[J]. Mathematical Biosciences，2007，208（ 2）：419-429.

[4]Kuznetsov， Yuri. Elements of Applied Bifurcation Theory[M].Springer-Verlag New York Inc，2004：39-76.

[5]张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题[M].北京大学出版社，1981：90-93.

3106500338278