□刘 燕

概率论与数理统计是研究随机现象的一个数学分支，它是与现实世界联系紧密、应用最为广泛的学科之一，已成为人们从事生产劳动、科学研究和社会活动的一个基本工具。其中，古典概率和条件概率是概率论与数理统计课程中两个基础且重要的概率，大量的后续概率建立在这两个概率的基础之上[1]，比如事件的独立性、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、二项分布、随机向量的条件分布等，因此应重视古典概率和条件概率的教学与学习。文章通过生活案例讲述古典概率和条件概率，激发学生的学习兴趣，并分析典型的常见错误，指出注意问题，避免学生在学习过程中发生不必要的错误，增强学生的学习信心，进而提高课堂教学质量与教学效果。

一、古典概率

古典概型定义[2]：设随机试验E满足下列条件：

①(有限性)试验的样本空间只有有限个样本点，即

Ω={ω1,ω2,…,ωn}；

②(等可能性)每个样本点的发生是等可能的，即

P({ω1})=P({ω2})=…P({ωn}),

则称随机试验E为古典概型。事件A的概率为：

由上可知，计算古典概率首先判断这个试验是否为古典概型。确定之后，要弄清样本空间包含的样本点总数和随机事件中的样本点数，列出比式求出概率。过程看起来并不复杂，但学生往往就在找样本空间中包含的样本点总数和随机事件中所含的样本点数这两个数据上遇到困难，原因在于这两个数据的计算常常涉及到排列和组合、乘法原理和加法原理的知识，结合古典概型的性质，有时还需要建立一个简单的数学模型[2]。鉴于此，在教学中将抽象的数学问题背景化，从生活实例入手，增强学生的求知欲。下面看几个生活实例。

例1 试计算福利彩票35选7中特等奖的概率，中一等奖(对6个号码)的概率？

由上可知，无论中特等奖还是一等奖用古典概率知识可算出它们都是很小的概率事件，在生活实际中很难发生。由此告诫同学们在生活中与其守株待兔等待小概率事件的发生，不如踏实学习、认真工作，慢慢积累财富更为妥当。

例2 某接待站在某一周接待12次来访，已知这12次接待在周二和周四进行，问是否可判断接待时间是有规定的？

二、条件概率

由此可知，条件概率也可看成古典概率模型，可由古典概率计算，此法称为缩减样本空间法。由条件概率定义，当P(B)>0时，P(AB)=P(B)P(A|B)或当P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B|A)，此两个公式称为两事件的乘法公式，它是条件概率的变形，同时也给出了条件概率与乘法公式之间的关系。区别条件概率和积事件的概率关键在于是否有附加条件[3]，下面看几个应用。

例3 设袋中有7只白球，3只红球。白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同，若已知取到的球是白球，求它是木球的概率？

解析：方法1(公式法)设A表示事件任取一球，取得木球，B表示事件任取一球，取得白球。列表观察分析

白球红球总计木球426塑料球314总计7310

AB表示事件取的球是白球且是木球，由上表知事件AB所含的样本点数为4，事件B所含的样本点数为7，样本空间所含的样本点总数为10，有古典概率可得

例4 中秋节快到了，想外出游玩两天，需要知道两天的天气情况，已知第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1。想知道(1)第一天下雨时，第二天不下雨的概率;(2)第一天下雨时，第二天也下雨的概率。

解析：设A表示事件第一天下雨，B表示事件第二天下雨，已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，P(AB)=0.1。

(1)欲求的概率为A发生条件下事件B不发生的概率，即

由此可知，条件概率与无条件概率之间的大小无确定，即P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概念，在数值上一般也不相等。

三、古典概率和条件概率常见典型错误分析

(一)抽签模型中的概率与条件概率理解错误。

例5 一罐中装有a个黑球，b个白球，不放回的抽取两球，已知取出的两个球中有一个黑球，求另一个球也是黑球的概率。

分析：对于本例，同学们在求解时往往会出现以下错误解法。

错误解法2：将“两个球中有一个黑球”理解错误。设A1表示两个球中有一个是黑球事件，A2表示两个球中另一个是黑球事件，所求概率是在A1发生的条件下事件A2发生的概率，则

此种解法错误在于学生将“两个球中有一个是黑球”理解为“两球中恰有一个是黑球”导致P(A1)求解错误。“两个球中有一个是黑球”实际指的是“两球中至少有一个是黑球”。

正确解法：设A1表示两个球中有一个是黑球事件，A2表示两个球中另一个是黑球事件，所求概率是在A1发生的条件下事件A2发生的概率，则

(二)积事件的概率与条件概率的理解错误。例6一罐中装有a个黑球，b个白球，不放回的抽取两球，每次任取一个，求第二次才取到黑球。

错误解法：对于这个问题，由于问题中有个“才”字，所以同学们都会注意到“第一次取的球肯定是白球”，但部分学生会犯下如下错误：

四、结语

古典概率与条件概率是概率论与数理统计课程中两个基础的概率，大量后继概率在这两个概率的基础上引申而来，且它们在实际问题中有着很广泛的应用。运用实例讲解这两个概率，不仅激发了学生的学习兴趣，而且也体现出概率论与数理统计来源于生活，回归于生活的理念。通过列举具体实例分析学生在学习这两个概率过程中出现的典型错误，不仅能够有效地提高教学质量和教学效果，而且对每位初学者学好概率论与数理统计及它在自然科学和社会科学各个领域中的应用具有重要的作用。