田进仁

证明函数不等式问题具有较强的综合性，侧重于考查函数、不等式、方程、导数的性质.证明函数不等式有多种方法，常见的有导数法、作差法、作商法、换元法、分离参数法等.本文主要谈一谈证明函数不等式常用的三种思路：作差、换元、分离参数.

一、作差

作差法是比较两个数大小、证明不等式的常用方法.运用作差法证明函数不等式，要先将不等式两边的式子作差，然后将差式与0比较，从而证明不等式成立.对于一些含有多项式的函数不等式，作差后的式子往往比较复杂，此时可利用复合函数的性质，或根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性求得差式的最值，再将其与0进行比较即可.

二、换元

有些函数不等式较为复杂，其中含有分式、绝对值、根式、对数式、指数式、高次幂等，此时我们很难证明不等式成立，需采用换元法，通过寻找问题中潜藏的关系来进行换元，以简化不等式的结构，进而证明不等式成立.在换元时，可对不等式进行局部换元，也可进行整体换元.

三、分离参数

有些函数不等式中含有参数，此时可采用分离参数法来证明不等式.首先需将所要求证的不等式进行变形，使得参数与变量分离；再构造出关于变量的函数，讨论其对应的值域，判断出参数的取值范围，从而使问题得解.在构造出新函数后，往往需利用基本不等式、导数法、函数的单调性来求函数的值域.

通過上述分析不难发现，每一种方法的适应情形均不相同，运用这三种方法证明不等式的思路也不相同.无论运用哪种方法证明函数不等式，只要遇到含有指数式、对数式的函数不等式，我们都要构造新函数，利用导数法来讨论函数的单调性和最值.这些常用的证明方法都是我们需学习和掌握的重点内容，只有熟练掌握这些解题的方法，才能更快地找到解题的思路，更加高效地解答问题.

（作者单位：宁夏大学附属中学）