随岁寒 彭丹华 刘金建 祁晓乾 刘晓光

(1.商丘工学院 机械工程学院,河南商丘 476000; 2.苏州聚悦信息科技有限公司，江苏苏州 215100 )

输流管道在石油化工、航空航天和海洋热能转换等领域应用广泛，在这一结构的设计中须要同时考虑动力学和静力学两方面的因素。在动力学方面，通过对自由振动系统的分析，得到的固有频率可作为振动控制的输入，目前这方面已有大量研究[1-6]；在静力学方面，管道由于受到自重的作用产生横向弯曲变形，同时受到流体离心力影响，因此管道的横力弯曲问题同样值得关注，这方面的研究还比较少。

现有文献在研究中多基于Euler梁模型并利用Hamilton原理建立输流管道系统控制方程，进而研究输流管道系统的动力学特性及其稳定性。例如，周坤等[1]采用Euler梁模型研究了不同材料组成的周期性悬臂输流管道在定常内流作用下的非线性动力学方特性。方孟孟等[2]研究了悬臂输流管道在基础激励与脉动内流联合作用下的非线性动力学行为。Dehrouyeh-Semnani等[3-4]应用修正偶应力理论研究了可扩展流体输送微管的尺寸相关非线性振动特性。在文献[5-6]报道的研究中，对流体输送功能梯度管道的线性振动进行了研究。结果表明，用功能梯度材料代替传统的各向同性材料，可大大提高输送管道的稳定性。实际上，功能梯度管稳定性的提高主要是由于功能梯度材料具备的高刚度。Selmi等[7]分析了功能梯度材料后屈曲输流管道的振动，得到了输流管道在不同边界条件下的后屈曲变形的精确解。Tang等[8]研究了粘弹性管道输送流体的分数阶动力学模型的非线性自由振动问题。Luczko等[9]提出了一个描述由流体速度脉动引起的弹性管道非平面振动的模型，研究了流速和脉动频率对振动特性、振型以及振动强度增加范围的影响。Askarian等[10]研究了可伸缩悬臂管道输送脉动流的非线性动力学问题，分析了流量质量、脉动流量频率和重力等几何参数对系统动力学的影响。Deng等[11]研究多跨粘弹性功能梯度材料输流管道的稳定性，并探讨了体积分数指数、流体速度、内压和内阻尼对管道系统稳定性的影响。Wang等[12]研究了功能梯度材料管道输送流体的横向振动问题。An和Su[13]采用广义积分变换技术对轴向功能梯度管道输送流体的动力学行为进行了数值研究。Tan等[14]首次采用Timoshenko梁理论研究超临界范围内输送流体管道的振动特性，推导了管道的静平衡非平凡解和临界流速。

然而，针对输流管道的准静态弯曲的研究至今非常少，值得一提的是Dai和Wang[15]基于Euler梁模型研究了管道系统在磁铁引力作用下的弯曲问题。实际上，仅仅考虑受到磁铁引力这一集中载荷不具有普遍意义，工程应用中，输流管道系统往往水平布置，重力和流体离心力是影响其横向弯曲的主要因素。输流管道需要尽可能地增大支撑跨度以节约成本，同时，也需要尽可能的增大流体速度以提高效率。另一方面，流体离心力与流体速度是典型的非线性关系，因此有必要一探流体速度与管道最大挠度的关系。

Reddy三阶剪切梁理论可以同时适用于细梁和粗梁，即对细长管道都能很好地适用，因比而不必针对不同的细长比选用Euler梁理论[10]或Timoshenko梁理论[14]，因此在分析管道问题时可大大缩短建模时间。此外，有限元法作为一种成熟的数值方法，应用广泛，且其操作流程规范，为输流管道系统建立有限元模型有利于将这一问题纳入商业软件(如ANSYS)中，促进推广应用。利用虚功原理，便于明确流体离心力这一概念，并据此建立输流管道系统在重力和流体离心力作用下的静力学有限元方程。分别在固支和简支两种边界条件下，研究了流体离心力对管道弯曲和截面转角的影响，并在此基础上，探究流体临界速度以及跨度与最大挠度的关系。

1 数学模型

对输流管道系统建立图1所示坐标系，速度v沿x轴正向，重力沿z向，管道在两支承间的长度L。圆管弹性模量E，密度ρb，流体密度ρf，管道内壁半径R1，外壁半径R2。流体截面A1，管道截面积A2。

图1 输流管道示意图

为建立输流管道的弯曲有限元方程，将管道沿长度方向平均划分为n个单元，即每个单元长度为L/n。采用如下形函数表达管道单元横向位移和截面转角[16]。

(1)

(2)

其中N1和N2是拉格朗日形函数，H1～H4是Hermite形函数。

根据Reddy三阶剪切梁理论，梁的位移场可表达为

(3)

w(x,z,t)=w(x,t),

(4)

几何方程

(5)

(6)

将几何方程整理成矩阵形式

(7)

简化为

(8)

物理方程

(9)

并将物理方程简化为

σ=[D]ε.

(10)

利用(8)式和(10)式，可得应变能变分

(11)

流体的向心力虚功为

(12)

重力虚功为

(13)

其中，g为重力加速度并假设其方向沿y轴正方向。

将(10)式、(11)式和(12)式代入如下虚功原理表达式

δU+δWin=δWE,

(14)

变分运算后得到

(15)

由(15)式得到输流管道系统有限元平衡方程

(16)

(17)

(18)

2 数值结果与讨论

管道和流体的几个物理参数值如表1所示。

表1 物理参数值

图2 两端固支管的挠度及其转角

图3 两端固支管最大挠度随速度变化

图4 两端固支管跨度与最大挠度关系

图5 两端简支管挠度及其转角

在两端固支边界条件下，得到了管道中面各点的横向挠度及其截面转角如图2。由图2可见，随着流体速度增大，管道各点的横向挠度增大。这一现象可以理解为在重力作用下，管道轴向各点受到流体离心力的方向与重力方向相同，而速度越大则离心力越大，进而管道挠度越大。众所周知，管道中点处的挠度最大，图3给出了流体速度与管道最大挠度的关系曲线，很显然流体速度与最大挠度是非线性关系，流体速度增大到370 m/s附近时，曲线斜率骤然增大，据此可将这一速度定义为静态临界速度。在管路设计时，须将管道速度控制在临界速度以内，以防过大的流体速度造成管道破坏。管道跨度增大必然伴随最大挠度的增大，图4给出了流体速度100 m/s条件下两者的数量关系。由于输流管路的跨度和流速为可变因素，因此管路设计时须将两者综合考虑。

图6 两端简支最大挠度随速度变化

图5给出了在两端简支边界条件下，管道中面各点的横向挠度及其截面转角。图6给是流体速度与管道最大挠度的关系曲线。定性来看，简支条件与固支条件管道的挠度随速度的变化规律是一致的。由于简支条件相对于固支条件刚度略小，因此相同流速条件下简支条件对应的横向挠度偏大。对于静态临界速度，简支条件最大不超过180 m/s。同样地，管道的最大挠度随着管道跨度增大而增大，且最大挠度的增长率也随着跨度的增大而增大，如图7所示。

图7 两端简支管跨度与最大挠度关系

3 结语

采用Reddy三阶剪切梁理论和虚功原理建立输流管道系统横向弯曲的有限元方程，研究了固支和简支两种边界条件下流体速度对横向弯曲的影响。得到了管道最大挠度与流体速度的关系曲线，并据此定义了各边界条件下的静态临界速度。具体结论如下：

1)固支和简支边界条件下，流体速度正相关于横向挠度，呈非线性关系。存在临界速度，且这一临界速度为管路设计的最大速度。

2)本文研究方法和结论可供输油管道等系统设计时流速和跨度的选择提供参考，即：管道系统设计时须同时考虑重力、流体离心力和跨度三种因素。