武卫翔　王杰华　高瞻

摘  要： 虚拟手术系统在医学中实时仿真以建立可供手术前规划和手术时参考的虚拟环境。由于人体器官大多由软组织构成，有限元法能够精确地进行软组织几何大变形仿真。加速有限元仿真有多种方法，文章采用基于模态分析的模型约简方法，对软组织有限元模型进行模态分析，将约简子空间中的形变向量重构到原始空间，从而实现软组织实时仿真。实验结果表明，采用模型约简方法能够在仿真效率和真实性之间取得较好的平衡。

关键词： 软组织; 有限元; 模型约简; 模态分析

中图分类号：TP391.9          文献标识码：A     文章编号：1006-8228（2022）02-01-04

Body's soft tissue modeling and real time simulation

Wu Weixiang， Wang Jiehua， Gao Zhan

（1. College of Xinglin， Nantong University， Nantong， Jiangsu 226236， China; 2. School of Information Science and Technology， Nantong University）

Abstract： The application of virtual surgery systems are developed to carry out real-time simulation for pre-operative planning and education. Because human organs are mostly composed of soft tissues， finite element method （FEM） can accurately describe the large deformation of soft tissue. There are many methods for accelerating FEM， the model reduction based on the modal analysis is used in this paper， modal analysis is carried out for finite element models， numerical integration is executed in the subspace and the results are used to reconstruct the model’s deformation in original full space， to realize the real time simulation of soft tissue. The result shows that model reduction method can achieve a good balance between simulation efficiency and authenticity.

Key words： soft tissue; FEM; model reduction; modal analysis

0 引言

虚拟手术是利用医学影像和虚拟现实技术在计算机中建立一个虚拟环境，医生借助虚拟环境的信息进行手术规划、训练以及教学等的一种方法，极具发展前景[1]。

人体软组织模型的建立已从几何模型发展到基于物理特性的模型。在进行具有力觉交互的虚拟手术仿真中，力觉交互通常需要较高的刷新率，这对软组织变形仿真的实时性提出了较高的要求。种种问题使得软组织建模与实时仿真成了科研工作者在设计、实现虚拟手术仿真时需要解决的一个关键问题和难题。由于人体软组织多种多样，其结构和功能非常复杂，不同组织的力学特性也不尽相同，这一切导致对软组织模型的研究产生了很大的困难。

软组织的基本材料特性可概括为：不均匀性、非线性、塑性、粘弹性等材料性质[2]。如何构建高效统一的软组织材料力学模型，一直是软组织建模研究的一大难题。目前，用于软组织建模的方法主要包括：有限元法[3]、质点弹簧法[4]、边界元法[5]和锁甲形变方法[6]等。

有限元法是一种常用的计算方法。有限元法是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。有限元法描述物体形变的方程维度较高，在仿真过程中需要进行大量的计算，难以达到实时仿真的要求。

1 相关知识介绍

在动力学中，系统的动力学方程即求解方程为二阶常微分方程系统：

++= ⑴

其中，n为网格的顶点数，u∈为未知的位移向量，∈为质量矩阵，，∈R为阻尼矩阵，R（u）∈为系统的内部变形力，f∈为外部施加的力，外力可能来自用户交互或者碰撞反应所产生的力。质量矩阵是与时间无关的常量，仅与物体的网格和初始状态下质量密度分布有关。质量矩阵一般情况下为稀疏的非对角矩阵，为了算法的方便性，通常将矩阵所有的行累加到对角元素中使质量矩阵简化成正交矩阵。当构成模型的顶点数非常大的时候，即n的值非常的大，则求解方程⑴非常耗时，因此难以达到实时性要求。而在现实情况下，想要构成一个完整的模型并表现出自身的特征，則所需要的顶点数目是非常大的。

对于触觉交互应用，使用有限元方法导致大的计算量从而很大程度影响实时交互性能。一种简化的方法是基于线弹性理论的小变形假设。与位移向量u对应的内力为R（u）∈R，由于Green-Lagrange应变张量为非线性，因此R也为非线性。将方程⑴简化为线性系统：

++u= ⑵

其中，K∈R为刚度矩阵。由于刚度矩阵和质量矩阵在实时变形仿真中一直为常量，方程⑵表示的线性系统能够提供有效的预处理过程，这对于实时交互性能有重大的影响。

有些时候，我们只对某特定受力情况下物体的变形状态感兴趣，称为静态仿真。将方程⑴去掉其他项，只保留[R（u）]和外力¦，则欧拉方程即转变成静态仿真方程。假设给定一个外在静态力，则静态仿真就变成求解非线性方程R（u）=f的问题。与方程⑵对应的为Ku=f的求解。本文采用的模型约简方法将静态仿真很好地运用到动态仿真中。在静态仿真中，约简方法提供了一个约简的仿真，该仿真可以使用约简隐式Newmark积分获得。

维度模型约简是用来简化动态系统仿真的一种方法。复杂系统的仿真中，通过对问题维度的约简，使得描述系统的方程大幅减少，因此描述系统的方程的求解比原始问题求解所用时间也大幅度减少，从而提升了求解速度。通常速度的提升需要以损失一定的精确度为代价。

在约简模型中，位移向量u的构建如下：

u=Uq  ⑶

其中，U∈R位移向量基矩阵，q∈R为约简的位移向量。

U为r维（r远小于3n） 线性子空间的基，不随时间改变的矩阵。线性子空间及基矩阵的选取有若干方法。然而，子空间选取的好坏直接影响模型非线性的形变，好的子空间能很好地近似出典型的非线性形变空间，因此如何选取变形子空间对于下一步的实时变形非常重要。约简模型在线仿真之前，首先要在模型预计算阶段获得约简子空间U，并在在线仿真中得到变形子空间的位移和形变q，之后再利用公式⑶重构原始空间的形变，从而得到实时变形仿真。构建基矩阵U需要使用模态分析方法。

2 有限元模型准备

2.1 几何建模与有限元网格划分

首先运用三维重建技术，构建人体各器官和组织的几何模型。本章以心脏的建模与仿真为例，介绍软组织器官的建模与模型约简方法。图1为心脏的几何模型。

2.2 软组织器官的有限元网格的生成

几何模型不能直接用于有限元建模与仿真，例如图1中由三角形网格表达的心脏模型。为了构建心脏的有限元模型，必须对心脏几何模型进行网格划分。图2给出了模型体素化网格划分的流程。

对模型进行体素化，可以得到有限元模型，如图3所示。

2.3 软组织材料设定和有限元网格约束

软组织的物理特性通常由杨氏模量、泊松比和质量密度表示。心脏组织的杨氏模量为50kPa，泊松比为0.4，质量密度为1.07g/cm[7]，如图4（a）所示。对心脏有限元模型中的主动脉、主静脉部分一些顶点进行约束，如图4（b）所示，红色顶点为被约束的顶点。

2.4 基矩阵U的构建

自然界的每个固体都有特征变形，在结构力学上称为模态或是线性振动模态，每个模态都具有固有的频率。这些模态由物体的几何形状、边界条件和物体材料的性质有关。连续介质物体的频率谱一般为离散且无限的，对于已离散化的模型来说是有限的。在许多应用中，最低固有频率和它们的模态能够较好地近似表现物体的形变。当模态数目越多，物体的形变表现愈加精确。

对线性模态进行分析，在实际情况中不需要提取所有的振型来描述物体的变形，一般只会计算前十几阶模态和频率。线性模态仿真速度非常快，易于交互，因此在计算机仿真中受到了广泛使用。本文提取了心脏的前十六阶线性模态用来分析，如图5所示为心脏的前十六阶线性模态。

标准的线性模态分析仿真产生线性模态，可用于小变形的仿真。然而，线性模态用于大变形仿真，会造成较大失真。因此，线性模态子空间的基对大变形仿真来说并不合适。通过提取心脏的线性模态，采用模态派生的方法，得到心脏的非线性模态，对非线性模态进行分析，保留前二十阶非线性模态以重构非线性子空间。如图6所示为心脏的前二十阶非线性模态。

约简子空间中的仿真计算及原始完整空间中变形向量的重建，首先，记录用户交互力并计算模态力，之后，求解约简子空间中的运动方程得到约简子空间中的变形和位移向量，并据此重构原始空间中的变形和位移向量，最终完成仿真，并将变形、位移、速度等信息反馈给力反馈设备及图形显示界面。

图7所示为心脏约简有限元模型的仿真过程，图7（a）为静息状态下的心脏模型，图7（b）为受到朝上的作用力之后产生的变形，黑色箭头指出了受力的方向和受力的位置。从形态上观察，变形较为逼真。

3 总结与展望

为了使人体软组织有限元模型能做到实时变形仿真，我们使用有限元方法对人体软组织建模。采用了模型约简方法，力图在仿真求解速度和精度之间取得平衡。通过实验、分析表明，采用模型约简方法能够在仿真效率和真实性之间取得较好的平衡。对于本文的仿真研究，作者认为还存在值得进一步扩充和深入之处：在软组织变形仿真中，会涉及到软组织自身的碰撞，以及软组织与周围环境及组织的碰撞，这是软组织仿真中的重要研究内容，在本文中并没有考虑，在进一步的研究工作中需要深入考虑解决。

参考文献（References）：

[1] 王澎湃.虚拟手术中软组织力触觉模型及再现技术研究[D].

南京：南京信息工程大学，2019

[2] Gladilin E， Zachow S， Deuflhard P， et al. On Constituive

Modeling of Soft Tissue for the Long-term Prediction of Cranio-maxillofacial Surgery Outcome[C]. International Congress Series. Elsevier，2003，1256：343-348

[3] 李建英.虚拟手术中软组织形变仿真研究[D].山东：山东大学，2009

[4] Basafa E， Farahmand F， Vossoughi G. A Non-Linear

Mass-Spring Model for More Realistic and Efficient Simulation of Soft Tissues Surgery[J].Studies in Health Technology and Informatics，2008，132：23-25

[5] Tang Y M. Modeling Skin Deformation Using Boundary

Element Method[J].Computer-Aided Design and Applications，2010，7（1）：101-108

[6] Zhang J， Zhong Y， Smith J， Gu C. A new ChainMail

approach for real-time soft tissue simulation. Bioengineered，2016，7（4）：246-252

[7] 肖鹏飞.基于有限元方法的心脏表面运动建模技术研究[D].

長沙：中南大学，2008