王士旭 王永

摘要：本文主要针对具体的例题来讨论测角三角网中条件方程的如何列立，以及提供找寻条件方程的方法与区分条件方程的类型。通过四个例题，具体地分析了利用条件平差进行解算时必要观测数、各类条件方程个数的确定。该文中的分析思路相对灵活，不拘泥于具体算例，具有较好的适用性和灵活性。

关键词：测角三角网;条件方程;多余观测值;必要观测值;图形条件;极条件

0 引言

在进行相关的测量作业时，对所要求的观测数据进行测量平差是测量工作中不可缺失的一部分。如果想要进行正确的平差计算，需要操作者可以列出该测量作业正确平差解算的函数模型。在对它们进行列立之前，需要先进行必要观测数和条件方程的确定。对于必要观测数的确定，众多学者进行了相关研究[1，3-5]。对于各类条件方程的列立，一些学者也进行了相应的研究[5]。本文在之前成果的基础上，针对必要观测数的确定以及各类条件方程的确定进行了相关的分析和探究。本文主要研究关于测角三角网的必要观测数据的确定以及各类条件方程的确定。

1 理论基础

在进行平面控制时可供操作者选择的网型有很多，如三角网，导线网，GNSS（CORS）网等。随着科技的发展，GNSS在日常的使用中越来越普遍，专门的三角网已经不经常使用，但是在学习测量平差的过程中，三角网仍然是学生需要掌握的最为基本的一种网型。根据一般要求，大多数三角网的分类是依据观测值的不同来划分的，通常可将它们分成测边三角网、测角三角网和边角同测网。同时，由于条件方程存在多种不同的类型，例如图形条件（内角和条件）、圆周条件（水平条件）、极条件、方位角条件、固定边条件等。那么在三角网中进行条件平差时就需要进行判断到底存在那些类型的条件方程，这时候就需要判断一下三角网中都含有哪些基本几何图形了。在三角网中一般包括的基本几何图形包括单三角形、中点多边形、大地四边形和扇形。对于任何一个三角网，都可以视作由基本几何图形中的一个或若干个组成。在文献[1，5]中，在观测值充足的情况下，各基本几何图形的条件方程类型如下。

（1）对于图形条件：三角网进行测量时必定会包含单三角形，如果这个三角网中单三角形的三个内角都进行了观测，同时得到了必要的数据，那么就存在图形条件;只要在这个三角形中存在一个内角没有得到充分的观测，就无法列出图形条件。

（2）对于圆周条件：如果三角网中含有中点多边形，那么就有可能存在圆周条件;具体能否列出圆周条件，还得看中点多边形的中点上所有角度是否存在（不管是直接观测的还是间接计算得到的，都可以视作存在）;如果存在中点多边形且中点上的所有角度都存在，那么对于该图形便就可以列出圆周条件;否则，不可以。例如图1中就有一个以点P4为中点的中点四边形或中点三边形，所以肯定会存在圆周条件。

（3）对于极条件：如果所要面对的三角网中含有大地四边形、扇形、中点多边形，那么该图形中存在极条件的可能性就很高;具体能否列出极条件，还得看这些基本几何图形中的所观测的角度个数是否足够，如果足够，就可以列出;否则，不可以。注意：在判断极条件时需要考虑该图形中以哪个点作为极点来进行分析，在列极条件方程时该极点所在的角度就可以不用到方程中。

（5）对于固定边条件：如果三角网中有两条以上的边的边长已知，则可以列出固定边条件;否则，不可以。

（6）再强调一下，对于条件方程之间的独立性判断是最难掌握的，也是最容易出错的地方。关于这一点没有统一固定的方法，通常的经验做法是看一下三角网中所含的几种基本几何图形之间的独立性情况，感兴趣的读者可以参考一些相关文献。

2 确定步骤

对于该类问题，做一下实现步骤：

（1）首先确定观测值是什么观测值，比如是角度还是边长，然后确定是测角三角网还是测边网以及边角网。

（2）确定已知数据为何种类型的数据，比如点坐标、边长、角度（包括水平角和方位角）。

（3）确定已知数据是否可以作为方程的起算数据。起算数据一般是用来帮助确定该三角网的网型是否起到作用的数据。详细参考文献[1，5]。

（4）然后再看一下此几何图形是由哪些基本几何图形组成，然后依据各组成基本几何图形的情况来进行确定。详细的解题过程的通过看下面的实例分析来了解。

3 实例分析

如图1至图4所示，求出各测角三角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数，其中Pi為待定点，为已知边，为已知方位角。

此类题型在测量平差中非常具有典型性，掌握了该题后，关于必要观测数和多余观测数的判断以及条件方程的列立就基本迎刃而解，可以方便读者解决测角三角网中条件平差方程列立的基本问题。

3.1 必要观测数的确定

以图1为例，分两种思路进行分析：

思路一：

（1）首先确定该几何模型是一个测角三角网;

（2）该图形的已知数据有两个已知点的坐标和两个已知方位角，以及一条已知边;由于已知的起算数据大于4，所以可以判断出来该网是用来确定网中待定点的坐标数据的;

（3）为了可以得到图形中待定点的坐标数据，这些已知的数据都是可以用来分析计算的，因此它们作为起算数据来辅助我们之后的数据处理分析（请注意：已知的数据未必是起算的数据，但起算的数据一定是已知的数据）。

（4）为为了确定图形中待定点的坐标，只需要A、B两点的坐标数据便可以做到。该图中一共有4个待定点，即4×2=8个待确定数据。要确定图形中的这8个数据，那我们一般是需要确定8个观测值来辅助计算;但是题中已有2个起算方位角与1条已知边辅助确立数据，这样在8个观测值中减去3个即可，即必要观测数t=8-3=5 ;

（5）综上，多余观测数r=n-t=16 。

思路二：依据于公式t=2p-q-4来计算[6]，其中，p是所要分析的网中所有点的数目，q是所要分析的网中多余的独立的起算数据的数目。首先要明确一点是该公式t=2p-q-4是针对于测角三角网的。可得该网共有点个数p=6，q=3（这个数怎么来的？这样判断：A、B两点是必要的起算数据，方位角就是多余的起算数据，而且独立），从而可得t=2×6-3-4=5 。

3.2 条件方程类型的确定

3.2.1 对于图1的分析思路

多余观测数r为16。下面确定其各类条件方程。

思路一：

（1）通过已知条件可以了解到该网是一个测角三角网，根据已知数据的个数以及类型，可知该网是为了求得待定点的坐标。

（2）该图形可看作是一个以P4为中点、点P3P2AB为外点的中点四边形和一个单△P2P1A的组合图形（忽略点B与点P1、点B与点P2、点P1与点P3之间的连线）。观察发现，该图形中所有的水平角都进行了观测。为了可以更好地确定其独立性，我们需要先确定图形条件，再来辅助确定其他的条件。

（3）根据中点四边形的特点，其包含4个图形条件、1个圆周条件和1个极条件;对于单△P1P2A，可以确定1个图形条件;

（4）然后，依次连结点B与点P1、点B与点P2、点P1与点P3，会形成3个新的单三角形，从而又确定3个图形条件;注意，虽然也形成了△BP1P2，但是它的图形条件与其他的是相关的。

（5）连结三组点后，除了形成单三角形，还形成其他基本几何图形，如先连结点P1与点P3，会形成3-扇形P2-P1AP4P3，由此确定1个极条件;再连结BP2，会形成以P4为中点，BP2P3为外点的中点3边形，由此确定1个极条件;再连结BP1，会形成大地四边形ABP2P1，由此得1个极条件;

（6）进一步，根据已知的多余起算数据，由于边AB和边P2P3均边长已知，由此可列出1个固定边条件;

（7）依据已知边AB的方位角与α1可建立1个固定角条件;

（8）依据已知边AB的方位角与α2可建立1个固定角条件;

（9）综上所述，通过分析可以得到8个图形条件、1个圆周条件、4个极条件、1个固定边条件和2个固定角条件用于条件平差。

思路二：

（1）可将整个图形看作由3-扇形P2-P1AP4P3和单△ABP4和单△BP3P4组合而成，由3-扇形可确定4个图形条件和1个极条件，由两个单三角形可确定2个图形条件;

（2）然后连结点BP2和点BP1，可增加2个图形条件;连接两组点后，形成了新的单三角形BP1P2，虽然增加1个图形条件，但该图形条件与前面的图形条件相关;此时该图形中图形条件的总数确定完毕，为8个;

（3）连结BP2后，会形成大地四边形ABP2P1，由此可得1个极条件;还形成以P4为中点，BP2P3为外点的中点3边形，由此得1个极条件和1个圆周条件;

（4）连结BP1后，形成大地四边形BAP1P2，可得1个极条件;

（5）根据已知的起算数据，由已知边AB和边P2P3可建立1个固定边条件;

（6）依据已知边AB的方位角与α1可建立1个固定角条件;

（7）依据已知边AB的方位角与α2可建立1个固定角条件;

（8）综上分析，可确定8个图形条件、1个圆周条件、4个极条件、1个固定边条件和2个固定角条件用于条件平差。

3.2.2 对于图2的分析思路

（1）首先确定该几何模型是一个测角三角网;

（2）存在两个已知点A、B;可知该网是为了确定待定点的坐标。

（3）为了确定网中待定点的坐标数据，需要至少4个起算数据来辅助运算;而两个已知点的个数刚好满足条件，所以不存在多余的起算数据，q=0，将其代入测角网确定必要观测数的方程可得到t=2×6-0-4=8，即必要观测数为8。多余观测数r=n-t=10。确定了条件方程的个数，通过分析图形条件与已知数据的关系可得出条件方程的类型。

（4）该图形可看作是由基本几何图形大地四边形ABCD和单△ABE与单△BEF组合而成。由大地四边形ABCD可以得到3个图形条件和以及1个极条件;同样在分析两个单三角形时可以得到2个图形条件;在此基础上，连结点B和点E、点D和点F，由此可再确定2个图形条件;同时，在3-扇形C-DAEB和3-扇形B-DAEF中，可再确定2个极条件。

（5）綜上分析，可以得到总观测数n=18，必要观测数t=8，多余观测数r=10;即10个条件方程，其中有7个图形条件，3个极条件，这些条件方程即可用于平差计算。

3.2.3 对于图3的分析思路

（1）首先确定该几何模型是一个测角三角网;

（2）存在两个已知点A、B;可知该网是为了确定待定点的坐标。

（3）为了得到待定点的坐标数据，需要至少4个起算数据来辅助计算;而两个已知点的坐标刚好满足条件，所以不存在多余的起算数据，q=0，将其代入测角网确定必要观测数的方程可得到t=2×5-0-4=6，即必要观测数为6。多余观测数r=n-t=15-6=9。确定了条件方程的数量，之后分析图形条件与已知数据的关系，尝试得出条件方程的类型。

（4）该图形可看作是由一个基本几何图形3-扇形P2-P1ABP3组成（忽视点B和点P1、点A和点P2间连线）。由于每个角度都进行了观测，所以由3扇形可确定4个图形条件和1个极条件;然后，连结点B和点P1、点A和点P2，可再确定2个图形条件;然后，再依据大地四边形ABP3P2和大地四边形BAP1P2，可确定2个极条件;

（5）综上分析，该题总观测数n=15，必要观测数t=6，多余观测数r=9;即9个条件方程，其中有6个图形条件，3个极条件，这些条件方程即可用于平差计算。

3.2.4 对于图4的分析思路

（1）首先确定该几何模型是一个测角三角网;

（2）存在两个已知点A、B;可知该网是为了确定待定点的坐标。

（3）为了得到待定点的坐标数据，需要至少4个起算数据来辅助计算;而两个已知点的坐标刚好满足条件，所以不存在多余的起算数据，q=0，将其代入测角网确定必要观测数的方程可得到t=2×6-0-4=8，即必要观测数为8。多余观测数r=n-t=13-8=5。确定了条件方程的数量，之后分析图形条件与已知数据的关系，尝试得出条件方程的类型。

（4）该图形可看作由大地四边形P1AP2P3和大地四边形P1BP4P3组合而成（忽视点B和点P2间连线）。但是，要注意点P2和P4所在点处角度未观测，因此，可分别以P2、P4为极点，确定2个极条件方程;且由这两个大地四边形，只能确定2个图形条件。

（5）然后，连结点B和点P2，可得到大地四边形P1P2P3B，从而又可确定1个极条件（以P2为极点）。

（6）综上分析，该题总观测数n=13，必要观测数t=8，多余观测数r=5;即5个条件方程，其中有2个图形条件，3个极条件，这些条件方程即可用于平差计算。

4 总结

条件方程的确定在测量平差中具有重要的地位，条件平差是一种重要的平差方法。采用条件平差进行解算，必须要先正确确定其必要观测数、多余观测数、各类条件方程的个数，才能正确地对测量问题进行平差解算。其对于网型相对简单一点的几何图形，具有重要作用。但是，对于网型稍微复杂一点的几何图形，条件平差确实不是一种优秀的方法，此时，往往采用间接平差等其他平差方法来求解。但是，无论如何，条件平差都是一种重要的不可忽视的平差方法。本文中给出的分析，思路灵活，一个问题可通过不同路线进行解析，因此，可以很好地进行互相验证和推导。

参考文献：

[1] 泥立丽，王永等. 测量平差辅导及详解[M].化学工业出版社，2018年3月

[2] 武汉大学测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉大学出版社，2009

[3] 宁伟.测量平差中必要观测数确定的新方法[J].测绘通报，2010年10月

[4] 姚宜斌，邱卫宁.测量平差问题中必要观测数的确定[J].测绘通报，2007年3月

[5] 马慧.测量平差中关于起算数据确定的一些见解[J].山西建筑，2018年9月

[6] 於宗儔，鲁林成.测量平差基础[M].第二版.测绘出版社，1983

[7] 王永 等.利用Excel绘制误差椭圆的方法[J].矿山测量，2008年

作者简介：王士旭（2001.12-），男，汉族，山东阳谷人，本科在读，现在山东科技大学资源学院从事测绘工程专业的学习。

通讯作者：王永（1978.9-），男，汉族，山东新泰人，硕士研究生，讲师，现在山东科技大学任教，从事测量数据处理方面的研究工作。