三角板中的相似三角形

2022-02-16耿恒考

初中生世界·九年级 2022年2期

耿恒考

三角板是我们数学学习中常用的文具，利用一副三角板可以编拟出好多经典的题目。下面，我们就一起来欣赏由三角板构造出的相似三角形“K型图”的应用问题。

问题1 如图1，将含45°角的直角三角板，放在平面直角坐标系中。若点A的坐标为（2，1），求点B的坐标。

大家很容易想到，利用等腰直角三角形的性质，在图1中分别过点A、B作x轴的垂线段AD、BE，利用△OAD≌△BOE，证得BE=OD=2，OE=AD=1，从而得到点B的坐标为（-1，2）。

【拓展】如果将含45°角的直角三角板像图2这样放置，且点A的坐标为（2，1），如何求点B的坐标呢？我们可以用同样的方法，过点A作x轴的垂线AD，交x轴于点D，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，利用△OAD≌△ABE，证得AE=OD=2，BE=AD=1，从而得到点B的坐标为（1，3）。

问题2 如图3，将含30°角的直角三角板，放在平面直角坐标系中。若点A的坐标为（2，1），求点B的坐标。

类比问题1，利用含30°角的直角三角形性质，如图3，分别过点A、B作x轴的垂线段AD、BE，利用△OAD∽△BOE，且相似比为1∶[3]，证得BE=[23]，OE=[3]，从而得到点B的坐标为（[-3]，[23]）。

【拓展】如果将含30°角的直角三角板按如图4这样放置，且点A的坐标为（3，[3]），如何求点B的坐标呢？我们可以用同样的方法，过点A作x轴的垂线AD，交x轴于点D，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，利用△OAD∽△ABE，且相似比为[3]∶1，证得AE=[3]，BE=1，从而得到点B的坐标为（2，[23]）。

【感悟】观察以上几个问题中用三角板构造出的相似图形，不难发现一个共同特征：都有三个直角顶点在同一条直线上。我们经常把这样利用“一线三等角”来证明两个三角形相似的图形，称为“K型图”。其实“一线三等角”中的等角不一定是直角，锐角、钝角也都可以。

如图5，点P是线段AB上一点，点C、D在直线AB同侧，如果∠A=∠B=∠CPD=α，那么∠1+∠2=∠1+∠C=180°-α，可得∠C=∠2，再有∠A=∠B，证得△CAP∽△PBD。

其实，上面问题中，如果点C、D分别在直线AB的异侧，只要有∠EAC=∠ABD=∠CPD=α，同样可以证得△CAP∽△PBD。如图6，请你尝试用上面图5的方法来证明这个结论。

利用“一线三等角”证明相似三角形“K型图”来解决问题，在各级各类考试中频繁出现。

问题3 如图7，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P。

（1）能否使你的三角板兩条直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长;若不能，请说明理由。

（2）再次移动三角板位置，使三角板直角顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一条直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长;若不能，请说明理由。

【解析】（1）因为“直角顶点P落在AD边上”“三角板两直角边分别通过点B与点C”，所以∠A=∠D=∠BPC=90°，可得相似三角形的“K型图”，据此列出关于AP的方程来解决问题;当然也可以在这三个直角三角形中利用勾股定理得到关于AP的方程来解决。

能。在Rt△ABP与Rt△DPC中，

AB2+AP2=PB2，PD2+CD2=PC2，

而在Rt△BPC中，PB2+PC2=BC2，

∴AB2+AP2+PD2+CD2=BC2。