利用函数模型解决实际问题的策略

2022-02-13徐春宇

中学生数理化·高一版 2022年1期

■徐春宇

函数模型可以清晰地刻画实际问题中变量之间存在的联系。下面从函数模型的应用、函数模型的选择以及函数模型的构造等方面,帮助同学们学会合理地利用函数模型解决实际问题。

题型1:应用所给函数模型解决实际问题

此类题型的解题策略是先利用已知数据得出函数模型中的未知数,再把题目要求的数值代入完整的函数模型,即可求解。

例1某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%。已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)之间的函数关系为P=P0·e-kt(k为常数,P0为原污染物总量)。若前4h废气中的污染物被过滤掉了80%,那么要使废气能够按规定排放,还需要过滤nh,则正整数n的最小值为____。(参考数据:log52≈0.43)

解:由题目中已知信息可知,工厂前4h过滤了80%的废气污染物。已知污染物残留数量与过滤时间的函数模型为P=P0·e-kt,所以前4h 还剩下(1-80%)=20%的未过滤污染物,所以(1-80%)P0=P0e-4k,可得0.2=e-4k,即-4k=ln0.2==ln(5-1)=-ln5,所以k=。

因为规定污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%,所以0.5%P0≥P0e-kt,所以0.005≥e-kt。由k=,可得ln0.005≥,即-ln200≥,所以t≥=4log5200=8+12log52=8+12×0.43≈13.16,所以t≥13.16(t为正整数),可得t最小为14。故正整数n(过滤时间t)的最小值为14-4=10。

评析:此题提供了实际问题的函数模型以及部分数据,解题的关键是理解函数模型中变量的实际含义。

题型2:选择函数模型解决实际问题

此类题型的解题策略是分析题目中数据的变化规律,结合不同函数模型的特征,从已知的函数模型中选择最切合实际问题情境的函数模型。

例2某厂家为增加某种商品的销售量,决定增加广告投入费用,据市场调查,增加的销售量x(单位:千件)与广告投入费用H(x)(单位:万元)满足表1所示的数据(其中0≤x≤16)。

表1

为了描述增加的销售量与投入广告费用的关系,现有以下三种函数模型供选择:H(x)=ax3+bx2+cx,H(x)=0.5x+a,H(x)=klogax+b(a,b,c∈R)。

(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式。

(2)你认为销售量增加达到多少时,才能使每千件的广告费用最少?

解:(1)函数模型H(x)=0.5x+a是递减函数,由已知数据对应递增函数模型,可知函数模型H(x)=0.5x+a与已知数据不符合。函数模型H(x)=klogax+b在x=0处无意义,故也不符合题意。

对于函数模型H(x)=ax3+bx2+cx,它的递增或递减性由常数a,b和c决定,故是最合适的函数模型。

将表中的数据(1,0.452),(2,0.816),(4,1.328)代入H(x)=ax3+bx2+cx,化简整理可得方程组由此解得故H(x)=0.002x3-0.05x2+0.5x(0≤x≤16)。

(2)设每千件的广告费用为W,则关于W的函数模型为W(x)==0.002x2-0.05x+0.5。易得对称轴方程x=12.5。当x=12.5 时,W(x)有最小值为W(12.5)=0.1875,所以当销售量增加达到12.5 千件时,每千件的广告费用最少。

评析:在选择函数模型时,可以对比已知数据和函数模型的变化模式或变化趋势。选择的函数模型在某些特定点处要符合实际,如题中当x=0时函数所表示的意义。

题型3:构造函数模型解决实际问题

此类题型是较为复杂的函数应用题,通常会描述一个实际生活情境并提供实际问题中变量的具体数值或代表的未知数,要求挑选合适的变量,构建函数模型,并且利用构建好的函数模型进行答题。

例3如图1,某单位在精准扶贫活动中,给一户结对帮扶的贫困家庭赠送M、N两种经济作物的种子,并在三角形地块OAB中划出一部分来种植M种子,其余部分种植N种子。已知该地块OA的长为70m,OB的长为50 m,边OA上的高为40m。△OAB位于直线x=t(0≤t≤70)左侧的地用来种植M种子,每平方米盈利元;右侧的地用来种植N种子,每平方米盈利30元。记△OAB位于直线x=t(0≤t≤70)左侧的图形的面积为f(t)。