杨奉广，彭清娥

基于能坡划分原理的大比降山区河流阻力特性

杨奉广，彭清娥※

（1. 四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，成都 610065；2.四川大学水利水电学院，成都 610065）

在山区河流水沙灾害河道修复中，河道阻力系数是一个非常重要的参数。普通天然河道的达西阻力系数是水深与泥沙粒径比值的函数，而在山区大比降粗糙河道中，其值随着坡降的改变而变化。为探究大比降河道达西阻力变化规律，该研究通过变坡水槽试验设置3种坡度（10°、25°、35°）更大的河道，试验时床面铺设中值粒径为0.5、1和1.85 mm的3种天然沙，流量设定为0.5～2.5 L/s，淹没度范围/为0.84～7.27，采取试验数据和经典文献数据共计48组，涵盖河道坡度范围0.97°～35°（对应比降范围为17‰～573.6‰），进而建立能够反映滚波影响的适用于山区大比降河流的达西阻力表达式。结果表明：1）大比降河道水流表面会产生滚波，使得达西阻力系数增大；2）大比降河流的能坡可划分为两部分：正常河道无滚波时的能坡以及河道水面滚波产生的额外能坡，前者及其对应的达西阻力系数可以利用传统的对数公式进行求取，后者可以利用总能坡与无滚波时的能坡相减得到；3）将建立的比降达西阻力公式计算结果与实测数据比较，可以发现绝大部分数据落在±20%误差线中，说明该研究提出的公式的计算精度较高。研究建立的大比降河流阻力计算模型可以揭示大比降河道水流能量消耗机理，为后续研究大比降河流问题提供理论基础。

大比降河道；摩阻流速；达西阻力系数；淹没度；滚波

0 引 言

大量滑坡、崩塌、泥石流、堰塞湖和不稳定斜坡等地质灾害，易造成山区江河严重破坏，由此产生的山区河流的洪水漫滩、河道淤堵及清水冲刷等水沙灾害问题极为突出[1-3]，其中，山区河流修复是治理山区河流水沙灾害的重要任务之一[4-8]。作为河道修复中的重要参数，河道阻力系数的选择往往是确定河道修复模型方案过程中的难题。因此，研究山区河道阻力系数对于山区河流的水沙灾害、河道整治以及河流修复等是十分必要的。

中国是一个多山区的国家，与普通河流相比，西南山区河流较为明显的特点是床面泥沙粒径大，水深与泥沙粒径比值/常常在10以下，此种情况下河流水流特性发生了变化。张绍培等[9]系统地研究了此种情况下的水流变化特性，发现不同/下的流速分布虽然符合对数补偿公式，但是与普通河流流速比较，对数补偿公式中系数与尾流系数都发生了变化。杨胜发等[10]利用乒乓球模拟山区大颗粒泥沙研究了山区卵石河道达西阻力变化规律，试验结果表明当/<10时，由于泥沙颗粒影响到了主流区，达西阻力系数增大。Cheng[11]利用局部水头损失原理，建立适用于整个/变化范围的达西阻力计算表达式。杨奉广等[12]借助修正的水力半径，建立了适用于含有漂石床面和/<10的普通山区的达西阻力表达式。

山区河流的另一个特点是能坡大。Emmett[13]曾系统地研究了山区大比降达西阻力变化规律，设置3.3‰（对应河道坡度0.19°，下同）、17‰（0.97°）、34.2‰（1.96°）、55‰（3.15°）、77.5‰（4.44°）共5种比降的河道，试验结果表明：在层流区与紊流光滑床区，达西阻力系数不仅仅是雷诺数的函数，能坡影响比较明显，对于同一雷诺数，达西阻力系数随着能坡的增大而增大。在紊流粗糙区，达西阻力系数也不仅仅是/的函数，对于同一/，达西阻力系数也是随着能坡的增大而增大。Yang等[14]利用Emmett的实测数据，建立了适用于层流、紊流以及过渡区的大比降河道的达西阻力计算统一公式。

工程上，一般将河道比降超过5‰～10‰的河流称为大比降河道。Emmett[13]在对比降超过17‰的大比降河道进行试验时发现，与普通河流不同，大比降河流的水面滚波比较明显，很难获得普通河道达西阻力试验所需要的均匀流，水流平均水深的确定也比较困难。赵春红[15]在研究坡面流时，也观察到了这种现象。山区河流主要是紊流，河床充满泥沙，河流水面受滚波影响巨大，但目前针对大比降山区河流阻力的试验研究只探索到能坡为77.5‰（4.44°）的河道，缺乏滚波对大比降河流阻力影响的相关研究。滚波阻力属于海洋波浪研究的范畴，与普通河流达西阻力相似，可以表示为滚波高度与泥沙粒径比值的函数[16-18]。因此，将滚波模型引入到大比降河流阻力研究领域，并且探讨其对大比降河流阻力影响的物理机制，建立相关计算模型，具有重要的理论与实践意义，可充实大比降山区的河流阻力研究。故本文研究目标为试验研究更大比降的山区粗糙床面河流紊流阻力变化规律，结合滚波影响机制，引入能坡划分原理，建立滚波影响下的适用于山区大比降河流的达西阻力表达式，为山区河道灾害修复提供技术支持。

1 研究方法

1.1 公式推导

明渠水流阻力系数包括达西阻力系数[19-20]、谢才阻力系数[21-24]以及曼宁阻力系数[25-27]3种，工程中常用的是达西阻力系数，对于宽浅明渠其可以表示为

式中为达西阻力系数；为重力加速度，取9.8 m/s2；为水深，m；为能坡（也称为河道坡降或者比降）；为断面平均流速，m/s。在大比降河流阻力试验中，水流表面常常产生滚波，这种现象在紊流条件下尤为明显[9,11]。基于以上试验研究和分析，本研究将能坡划分为两部分，即

式中1表示正常河道无滚波时的能坡；2表示河道水面滚波产生的额外能坡，对于普通能坡河道，2应为0。将式（2）代入式（1）可以得到

如果令

则式（3）可以表示为

从式（6）可以看出，大比降河道阻力系数被分成了两部分，一部分是普通能坡下的达西阻力系数1，另一部分为滚波产生的达西阻力系数2。

对于普通河流，达西阻力系数1可以利用Colebrook-White公式[11]计算。其适用淹没度范围为/>0.1[7]，可以满足山区大颗粒泥沙河床的应用，具体如下：

从式（2）、式（6）与式（7）可以看出，一旦确定滚波产生的额外能坡2或者阻力系数2，就可以计算大比降河道的阻力了。

1.2 大比降河道阻力试验

试验在四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室大比降变坡水槽中进行。水力学中的能坡表示水流能量消耗的参数，在恒定均匀流中，其与河道坡降（也称为比降）在数值上相等，因此也常常将能坡称为河道的比降或坡降。鉴于以往研究人员大比降阻力试验方面的研究设置的最大比降是77.5‰（对应河道坡度4.44°），本试验供设置了3种更大坡度的河道，即：10°、25°和35°。试验的供水装置是固定于试验水槽上方的降雨探头，探头下面是一个模拟山区集雨区，通过集雨区后水流进入水槽。本试验装置可以模拟区域降雨，鉴于本论文集中讨论大比降河道阻力问题，所以只考虑水流进入大比降河道的状况。

本试验选取中值粒径0.5、1和1.85 mm的3种天然沙，铺设水槽床面。水槽中水流流量通过水槽尾端的三角堰测量确定，为了保证水流处于紊流区域同时又不冲刷床面，试验设置的流量变化范围为0.5～2.5 L/s。由于水深一般都在1.5 cm以下，试验水流比较浅，无法使用激光流速测量仪，因此采用传统的示踪剂法测流速。试验淹没度（/）范围为0.84～7.27。试验时，先利用测针测量水槽沿程滚波波峰的位置，保证沿程波峰高度基本一致，进而确保水面与床面平行，床面坡降可以作为总坡降。1可以通过普通河流达西阻力公式（Colebrook-White公式）求得，试验所得到的总坡降减去1即2。由于水面存在滚波，很难直接测量平均水深，因此平均水深利用流量除以平均流速和水槽宽度的乘积获得。

2 参数确定

图1显示了大比降河道达西阻力系数随着/的变化规律，图中10°～35°范围内的数据点为本研究试验数据，其余为经典的Emmett大比降河道阻力试验数据[13]（下文简称“Emmett数据”）。从图中可以看出：在大比降河道中，达西阻力系数仍然随着水深泥沙粒径比值/的增大而减小，但是数据点比较离散，难以用固定的曲线关系来表示，因此推测，在大比降河道中达西阻力系数不仅仅是/的函数。分析数据规律可以发现，对于给定的/值，随着河道能坡的增大，达西阻力系数呈现增大的趋势。对于大比降河道，采取传统河道达西阻力计算公式（Colebrook-White公式）得出的结果明显偏小。因此需推导适用于大比降情况的达西阻力系数计算公式。

注：h为水深，m；d为床面泥沙粒径，mm。下同。

滚波产生的阻力可以表示成指数的形式[16-18]：

式中表示滚波与水流相关的参数，通常拟合为滚波的波高与水深的函数。由于大比降河道水流表面会产生滚波，而在实际工程应用中，不会像处理海洋工程那样去测量水面波，如果仍然将其表示成滚波波高函数的话，工程应用起来很不方便。考虑到滚波产生的根源是河道坡降过大，能坡2可以代表由于河道坡降过大滚波产生的能量消耗，因此可以假设

式中(2)表示2的未知函数。将式（9）代入式（8）可以得到

式中(2)=(2)-0.343，表示2的未知函数。从式（10）可以看出，一旦确定了2及函数(2)，就可以利用式（6）进行大比降河道阻力系数的计算了。

2.1 滚波产生的额外坡降S2的确定

2是由于河道床面过陡使得水面产生了滚波，进而产生的额外能坡。为了确定2，选取Emmett数据[13]中0.97°和3.15°两种大比降河道数据（共计11组）和本试验10°，25°以及35°大比降河道数据（共计25组），将滚波产生的能坡2随着能坡的变化曲线绘制于图2。从图中可以看出，2随着总能坡的增大而增大，说明水槽坡度越大，滚波的影响越大；但是增加幅度变化规律却不相同，对于6°以下的河道（<0.1），2的增加幅度随着能坡的增大变化比较小，当河道坡度大于18°（>0.3）以后，滚波产生的能坡2的增幅呈现明显增大的趋势。

图2 滚波对应的能坡（S2）随总能坡（S）变化曲线

当<0.1时，滚波产生的能坡（该段记为21）可以利用下式来拟合：

当>0.3时，滚波产生的能坡（该段记为22）的表达式如下：

式（11）与式（12）只能计算部分水流流区的2，对于整个流区的2可以利用比例法进行计算

其中是一个比例函数，当比较大时，趋近于0，式（13）自动转化为式（12）；反之，当比较小时，趋近于1，式（10）自动转化为式（11）。结合以上分析，可以表示成以下形式：

将式（11）～式（13）与实测数据比较，可以得出=71.4、=3。图2显示了式（13）的拟合效果，从图中可以看出，式（13）与实测数据吻合度较好。

2.2 未知函数G(S2)的确定

图3绘制了未知函数随着2的变化曲线，从图中可以看出随着滚波影响的增大，(2)的值也相应增大，其变化趋势可以利用经验式（15）来拟合，从图3的拟合曲线来看，其吻合程度较好。从物理机制上来讲，当能坡比较小时，滚波会消失，从而滚波产生的额外能坡2也会消失，此时函数的数值趋近于0，2消失。式（15）符合该规律，说明其能够良好地反映水流实际物理机制。

图3 未知函数G(S2)随S2变化曲线

Fig.3 Variation of unknown function G(S2) with S2

3 对本文推导式的验证和讨论

在工程中，测量河流的水深、能坡以及河床泥沙粒径后，首先利用式（7）计算未产生滚波时的阻力系数1；然后利用式（11）～式（14）计算滚波对应的能坡2；接着利用式（15）求出未知函数，利用式（10）求解滚波对应的阻力系数2；最后，利用式（6）就可以求出大比降河道阻力系数了。

为了验证本文推导式的计算精度，采用如下统计学中的误差公式：

式中、分别表示第个计算值和测量值；表示所采用数据的数量。

为尽量交叉选取更多的实测数据，除了率定参数时采用的36组大比降实测数据外，新加入了Emmett数据[13]中1.96°和4.44°大比降河道试验数据（共计12组），计算结果见图4。从图中可以看到，对于0.97°～35°范围内的河道，本文计算数据点都聚集在最佳线附近。进一步分析，可以发现所有的数据点都在±30%误差线以内，而绝大部分落在±20% 误差线中，说明本文推导式的计算误差最大不超过30%，大部分在20%以内，具有较高的计算精度，可以推广应用到工程当中。

图4 本文推导式计算结果与实测值的对比

为了进一步检验计算精度，表1列出了本文推导式、杨奉广公式[14]以及传统河道达西阻力计算公式（Colebrook-White公式）[11]的计算误差。虽然前文已得出，对于大比降河道，采取Colebrook-White公式得出的河道阻力系数明显偏小，但由于实际工程应用中多采取该公式，因此仍然将其加入进行精度测试。杨奉广公式[14]在此基础上进行改进，但建模数据的能坡上限为77.5‰（对应坡度为4.44°），对于更大能坡（比降）河道的计算效果未知。从表中可以看出：传统的普通河道阻力Colebrook-White公式计算最大误差高达85.641%，平均误差达到50.881%，实际运用时误差较大，精确度受限，造成这种状况的原因是Colebrook-White公式是基于普通坡降床面（<5‰）建立的；杨奉广公式计算平均误差24.525%，最大误差为72.923%，造成误差偏大的原因是杨奉广公式是基于Emmett[9]实测数据建立的，其在4.44°以下的河道计算效果较好，但是对于拥有更大能坡的河流，计算误差较大；本文大比降河流阻力推导式计算最大误差31.21%，平均误差12.23%，计算精度相对较高，且适用于能坡较大河道的达西阻力系数计算。

表1 计算误差统计表

工程上一般将河流比降大于5‰～10‰的河流称为大比降河流。当然，坡降也不能太大，当河流比降过大时，在水流底面会产生空腔，形成类似于瀑布的射流[10]。鉴于本推导式对应的试验比降小于573.6‰，因此使用本文公式时最好把河流比降控制在573.6‰以内。

笔者在大比降试验中观察到了水流表面滚波的存在，除了本文研究的大比降阻力计算问题外，滚波的临界问题值得深入探讨，即：当比降增大到什么程度时，滚波开始出现，目前尚无统一观点。Emmett[13]在坡降=3.3‰（对应河道坡度0.19°）的试验水槽中并没有发现明显的滚波，而当坡降增大到17‰（对应河道坡度0.97°）以后，滚波就比较明显了；杨奉广等[12]在探究<5‰的河道达西阻力变化规律时也没有看到滚波的出现；Wang等[18]曾系统地研究大比降河道滚波的变化规律，设置的最小坡降是=52.3‰（对应河道坡度3°）。由此可见，对于滚波出现的临界值问题，现有研究并不充分，是未来亟需深入系统探究的问题，其确定有助于工程中大比降河道的范围划定。另外，由于数据受限，本文推导式的使用效果有待进一步验证。

4 结 论

本文在大比降河道能量消耗机理的基础上，利用能坡划分原理，建立了适用于大比降明渠河道水流的达西阻力计算模型。主要结论如下：

1）对于大比降河道（河道比降超过5‰～10‰），在水流表面会产生滚波，使得大比降河流的达西阻力系数增大。基于此，将能坡划分为两部分：无滚波时的能坡1以及河道水面滚波产生的额外能坡2，达西阻力系数也可以对应划分为无滚波时的阻力系数1与滚波产生的阻力系数2。

2）能坡1及其对应的达西阻力系数1可以利用传统的对数公式进行求取。试验表明，滚波产生的能坡2随着河道能坡的增大而增大，但增加幅度变化规律却不相同，当河道坡度大于一定程度后，滚波产生的能坡2的增幅呈现明显增大的趋势。滚波产生的阻力2可以表示为淹没度与2的未知函数(2)的乘积形式。随着滚波影响的增大，(2)的值也相应增大，当能坡比较小时，滚波会消失，从而滚波产生的能坡2也会消失，此时函数(2)的数值趋近于0。最后，利用实测数据确定了2以及未知函数(2)的表达式。

3）根据能坡划分原理，推导了适用于山区大比降河流的达西阻力表达式。将计算结果与实测数据比较，可以发现所有的计算数据点都在±30%误差线以内，而绝大部分落在±20%误差线中，说明本文推导式具有较高的计算精度。

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Friction factor of river channel flows in rough steep slope mountaineous areas using energy slope division

Yang Fengguang, Peng Qing’e

(1.,,610065,;2.,,610065,)

The corridor restoration of mountain river channels has been a considerable object over the past four decades. Among them, the friction factor of river channels can be one of the most important variables in the theory of stream corridor restoration. The Daycy friction factor is a function of the depth-to-sediment diameter (/) ratio for the traditional open channel flows. However, the friction factor formula is not applicable for the open channel flows on the rough steep slope mountain. The friction factor is dependent on both the/and energy slope. In this study, an impervious flume with the adjustable slope was designed to investigate the river resistance of the steep slope mountain in the laboratory. The flume bottom was covered with uniform sediment in the diameter of 0.5, 1, and 1.85 mm. The flow discharge varied from 0.5 to 2.5 L/s. The/(divergence) was within the range of 0.84-7.27. Three slopes with the degree of 10°, 25°, and 35° were used to test the effect of the slope on the resistance factor. Experimental results show that the Darcy friction factor was larger than that for the traditional open channels, due to the roll waves on the water surface of the mountain rivers channels. The variable roll waves modified the flow resistance, leading to the stage-discharge relationship of the channel conveyance. Assume that the energy slope in a steep slope mountain channel was divided into two major components, i.e., the energy slope1without the roll waves, and the other2related to the roll waves. The energy slope2was caused by the roll waves that were created on the water’s surface. The rolling wave occurred on the much larger slope of open channel. The Colebrook-White formula was used to calculated the energy slope without the roll waves1or related friction factor1. An indirect empirical treatment was carried out to measure the roll wave with the energy slope2. The formula of2and the related friction factor2were derived from the energy slope2using present experimental data. Among them, the energy slope2increased with the total slope. Finally, a semi-analytical model was developed to compute the Darcy friction factor for the steep slope open channels. The total Darcy friction factor was set as the sum of two friction components, corresponding to the traditional open channel and roll wave resistance:=1+2. A total of 48 datasets of measured flume data were selected to test the validity of the present energy division formula. Each data set included the complete records of flow discharge, channel width, water depth, energy slope, median sediment size, and specific gravity of sediment. The comprehensive database covered a wide range of slopes in the mountain river channels. A comparison was made between the present formula with the measured data. Nearly all the data lay within the ±20% error band, indicating excellent consistency. Furthermore, the present formula was also developed on the basis of the mechanism of steep slope mountain river energy dissipation. The finding can provide a fundamental theory for the mountain river.

steep slope open channel; shear velocity; Darcy friction factor; submergence; roll wave

10.11975/j.issn.1002-6819.2022.20.013

TV142.1

A

1002-6819(2022)-20-0113-06

杨奉广，彭清娥. 基于能坡划分原理的大比降山区河流阻力特性[J]. 农业工程学报，2022，38(20)：113-118.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2022.20.013 http://www.tcsae.org

Yang Fengguang, Peng Qing’e. Friction factor of river channel flows in rough steep slope mountaineous areas using energy slope division[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2022, 38(20): 113-118. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2022.20.013 http://www.tcsae.org

2022-09-05

2022-10-12

国家自然科学基金资助项目（51979180）

杨奉广，博士，副研究员，研究方向为水力学及河流动力学。Email：yangfengguang@scu.edu.cn

彭清娥，博士, 副研究员, 研究方向为水力学及河流动力学。Email：654401288@qq.com